Формула полной вероятности

В данном разделе мы рассмотрим более сложные задачи, имеющие большое практическое значение. Эти задачи встречается на практике в случае, если имеются несколько возможных сценариев развития событий (несколько вероятных гипотез). Известны как величины вероятности реализации каждого из сценариев, так и вероятность наступления интересующего нас события для любого из этих сценариев, а нас интересует, какова полная (совокупная) вероятность наступления интересующего нас события.

Предположим, что в результате опыта может произойти одно из n несовместных событий (гипотез) Н₁, H₂,..., H_n. Пусть также имеется некоторое событие А и известны Р(Н_i) - вероятность гипотезы, P(A! H_i) - условная вероятность события А при этой гипотезе). Тогда вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Пример. Из 40 деталей 10 изготовлены в первом цехе, 25 - во втором, а остальные - в третьем. Первый и третий цехи дают продукцию отличного качества с вероятностью 0, 9, второй цех - с вероятностью 0, 7. Какова вероятность того, что взятая наудачу деталь будет отличного качества?

Решение: обозначим событие А={выбрана деталь отличного качества}, H_i={выбранная деталь изготовлена в i цехе}, i=1, 2, 3. Тогда

По условию задачи P(A|H₁) = P(A|H₃) = 0, 9, P(A|H₂)=0, 7 По формуле полной вероятности находим искомую вероятность:

Пример. На рисунке изображена схема дорог. Найти вероятность того, что турист, вышедший из пункта А, попадет в пункт В, если на развилке он наугад выбирает любую дорогу (кроме обратной).

Решение: Обозначим H_i={приход туриста в пункт H_i}, i=1, 2, 3, 4. Поскольку, выйдя из пункта А, он выбирает любую дорогу наугад, то P(H_i)=1/4, i=1, 2, 3, 4.

Исходя из схемы дорог, определяем, что P(B! H₁) = 0; P(B! H₂) =1/2; P(B! H₃) = 1; P(B! H₄) =1/3. Таким образом, по формуле полной вероятности

Пример. Из двенадцати лотерейных билетов пять выигрышных. Билеты вытягиваются по одному без возвращения. Какова вероятность того, что во второй раз вытянут выигрышный билет

Решение: Как обычно, вдоль каждой ветви " дерева вероятностей" значения вероятностей перемножаются, а затем значения на концах нужных веток между собой складываются. В результате получаем ответ:

После этого раздела Вам нужно выполнить первое письменное задание. Пожалуйста, пишите решение подробно, поясняйте все сделанные Вами предположения.
ЗАДАНИЕ

1. В отделе найма персонала проводится тестирование на вакантную руководящую должность. Тест составлен из двух производственных ситуаций, не связанных между собой логически. По каждой ситуации предлагается три примера дальнейших действий, из которых надо выбрать один наилучший.

Вероятность того, что претендент знает ответ на первую часть теста равна Р1, вероятность того, что он знает ответ на вторую часть равна Р2. Допустим, что в случае, когда претендент не знает ответа, он принимает решение произвольно выбирать из трех предлагаемых вариантов наугад. Нарисуйте дерево вероятностей и посчитаете вероятности для разных сценариев развития событий. Прокомментируйте свои оценки. Какова вероятность того, что испытуемый знает ответы на обе части теста? Какова полная вероятность, что испытуемый ответит правильно на обе части теста? Можете ли Вы предложить свои способы повышения достоверности результатов такого тестирования?