Примеры выполнения заданий типового расчета

Задание 1.Вычислить определители 2-го, 3-го и 4-го порядков:

, , .

Решение.

Для того чтобы вычислить определитель 2-го порядка, воспользуемся формулой (1.14):

Вычисление определителя 3-го порядка произведем по правилу треугольников и воспользуемся формулой (1.15):

Данный определитель 4-го порядка вычислим, пользуясь разложением определителя по четвертой строке, так как она содержит нули. Воспользуемся формулой (1.17), применив ее к четвертой строке, получим:

Согласно условию задачи значит, вычислять и нет необходимости. Найдем алгебраические дополнения и по формуле (1.16): где определитель получен из данного определителя 4-го порядка вычеркиванием четвертой строки и первого столбца, где определитель получен из данного определителя 4-го порядка вычеркиванием четвертой строки и четвертого столбца. Осталось подставить данные в формулу (3.1):

Задание 2.Решить матричное уравнение , если Сделать проверку решения.

Решение.

Из данного уравнения выразим неизвестную матрицу для чего все остальные слагаемые из левой части уравнения перенесем в правую:

Далее вычислим где элемент получим следующим образом: элементы первой строки первой матрицы умножим соответственно на элементы первого столбца второй матрицы, затем все полученные произведения суммируем, в итоге имеем: Аналогичным образом, получаем элементы Откуда матрица

Проведем операцию транспонирования матрицы для чего запишем элементы строк в столбцы, получим: Умножая матрицы на нужные коэффициенты (см. п. 1.3), найдем: Получим уравнение: Здесь алгебраические операции сложения и вычитания выполнены поэлементно (подробнее о сумме матриц см. подразд. 1.3). Умножив обе части полученного уравнения на найдем: Проведем проверку полученного решения, для чего подставим найденную матрицу в данное матричное уравнение:

Выполним необходимые вычисления в левой и правой частях полученного уравнения (3.3):

Осталось выполнить вычитание и сложение в обеих частях уравнения: Уравнение решено верно.

Задание 3.Найти произведение двух данных матриц:

а) б)

Решение.

а) Определим размеры исходных матриц и согласно правилу из подразд. 1.3 найдем размеры матрицы, равной произведению данных. Первая матрица в произведении имеет размеры 3 × 3, вторая – 3 × 1, значит, матрица их произведения будет иметь размеры 3 × 1. Таким образом, где элементы получены при суммировании произведений элементов ой строки первой матрицы на соответствующие элементы единственного столбца второй матрицы: Значит,

б) Определим размеры матрицы, равной произведению данных так, как это сделано в предыдущем пункте: первая матрица в произведении имеет размеры 4 × 4, вторая – 4 × 3, значит, матрица их произведения будет иметь размеры 4 × 3. Таким образом,

Вычислим элементы по формуле (1.21), получим: Значит,

Задание 4. Решите систему уравнений а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.

Решение.

а) Составим матрицу системы и вычислим ее определитель Вычислим так, как это сделано в примере 8 (в вместо первого столбца поставлен столбец свободных членов, в – вместо второго, в – вместо третьего). Далее по формулам (2.6) находим:

б) Составим расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду с помощью элементарных преобразований над строками так, как это показано в примере 11. В цепочках преобразований будем использовать запись: которая означает, что к элементам второй строки прибавляются соответствующие элементы третьей строки, умноженные на 4, и результат записывается во вторую строку.

Получим цепочку преобразований: Выполним обратный ход метода Гаусса: Итак, получили ответ: