Корреляционный анализ. Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, характеризующая взаимосвязь значений одних случайных величин со средним

Частным случаем статистической зависимости является корреляционная зависимость, характеризующая взаимосвязь значений одних случайных величин со средним значением других, хотя в каждом отдельном случае любая взаимосвязанная величина может принимать различные значения.

Для однозначного определения системы двух случайных величин кроме статистических оценок математического ожидания и дисперсии необходимо уметь определять статистическую оценку ковариации.

Существование взаимных связей двух и более случайных величин и их относительную силу можно измерить с помощью корреляционного момента (коэффициента ковариации):

, (1)

где – математическое ожидание.

Этот показатель неудобен для практического применения, т. к. имеет размерность, равную произведению размерностей вариант, и по его величине трудно судить о зависимости параметров.

Коэффициент ковариации r _{x, y} нормированных случайных величин называют коэффициентом корреляции, его оценка

. (2)

Коэффициент корреляции зависит не от значений случайных величин, а от их вариаций, так если значение величины увеличить на порядок, то коэффициент не изменится. Значение коэффициента корреляции лежит в пределах от – 1 до + 1. Если случайные величины X и Y независимы, то коэффициент корреляции обязательно равен нулю, обратное утверждение неверно. Коэффициент корреляции характеризует значимость линейной связи между случайными величинами (параметрами):

– при r _xy = 1 значения x_i и y_i полностью совпадают. Иначе говоря, имеет место функциональная зависимость: зная значение одного параметра, можно однозначно указать значение другого параметра;

– при r _xy = – 1 величины x_i и y_i принимают противоположные значения. В этом случае имеет место функциональная зависимость;

– при r _xy = 0 величины x_i и y_i практически не связаны друг с другом линейным соотношением. Это не означает отсутствия каких-то других (например, нелинейных) связей между параметрами;

– при |r _xy | > 0 и |r _xy | < 1 однозначной линейной связи величин x_i и y_i нет. И чем меньше абсолютная величина коэффициента корреляции, тем в меньшей степени по значениям одного параметра можно предсказать значение другого.

Интерпретация коэффициента корреляции заключается в следующем: отклонение одной случайной величины от среднего значения на
величину среднего квадратического отклонения приводит в среднем по совокупности к отклонению другой случайной величины от своего среднего значения на r _xy ее среднего квадратического отклонения.

Нелинейная связь и разброс данных, вызванный ошибками измерения или неполной коррелированностью случайных данных, приводит к уменьшению абсолютного значения коэффициента корреляции.

Пусть из случайных величин x и y получена выборка, состоящая из N пар наблюденных значений. Оценка коэффициента корреляции называется выборочным коэффициентом корреляции и вычисляется по формуле:

. (3)

Таким образом, коэффициент корреляции характеризует степень линейной зависимости случайных величин X и Y.

Для многомерной выборки рассчитывается оценка корреляционной матрицы, которая является симметричной относительно главной диагонали, т.к. . Для выборки вместо коэффициента корреляции (2) используем выборочный коэффициент корреляции (3).

, (4)

где