Решение. Составим систему уравнений:

Составим систему уравнений:

.

Вычислим

=

(из элементов второго столбца вычли элементы первого, а к элементам третьего столбца прибавили элементы первого, затем разложили по элементам первой строки).

(разложили по элементам первого столбца).

(разложили по элементам второго столбца).

(разложили по элементам третьего столбца).

(разложили по элементам четвёртого столбца).

Применяя теперь формулы Крамера, получим

Задача 4

Способ

Исследовать системы на совместность. Совместные системы решить методом Гаусса.

Способ

+

, .

Решение

Способ

Составим расширенную матрицу исходных систем:

Последний столбец здесь является контрольным, каждый его элемент представляет собой сумму элементов соответствующей строки.

Например, 13=1+2+3+3+4 – сумма элементов первой строки.

Далее, производя элементарные преобразования, приводим матрицу к трапециевидной форме:

Последнюю матрицу получили, умножая первую строку сначала на (-2) и складывая со второй, затем на (-5) и складывая с третьей, затем на (-1) и складывая с четвёртой.

Теперь оперируем со второй строкой:

Последнюю матрицу получили, умножая вторую строку сначала на (-3) и складывая с третьей, затем на (-2/3) и складывая с четвёртой.

Теперь оперируем с третьей строкой:

.

Последнюю матрицу получили, умножая третью строку на (-4/3) и складывая с четвёртой. Этой матрице соответствуют три системы:

1. 2.

Решение системы (1): Решение системы (2):

3. .

Решение системы (3):

Решения этих систем: 1) (0, 0, 0, 0);

2) (1, -2, 0, 1):

3) (3, 2, -4, 3).

Способ

Составим расширенную матрицу и приведём её к трапециевидной форме:

.

Последнюю матрицу получили, вычитая из элементов второй строки элементы первой, умноженные на 2; из элементов третьей – элементы первой, умноженные на 5; из элементов четвёртой вычитая элементы первой.

.

Последнюю матрицу получили, вычитая из элементов второй строки элементы четвёртой; умножая третью и четвёртую строки на (-1).

.

Матрицу справа получили, умножив вторую строку на (-1); складывая третью строку со второй, умноженной на 9; четвёртую строку со второй, умноженной на 2.

-

матрицу справа получили, вычитая из третьей строки элементы четвёртой, умноженные

матрицу справа получили, вычитая из третьей строки элементы четвёртой, умноженные на 3.

Теперь умножаем третью строку на (-1) и складываем с четвёртой:

-

матрицу справа получили, разделив элементы четвёртой строки на (-1).

Этой матрице соответствуют три системы:

Решения этих систем: 1) (0, 0, 0, 0);

2) (1, -2, 0, 1);

3) (3, 2, -4, 3).