Решение. Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму Её матрица

Группа старших членов данного уравнения образует квадратичную форму Её матрица . Собственными значениями соответствующего линейного преобразования будут числа и (см. задачу 5). Следовательно, квадратичная форма преобразуется к каноническому виду

,

а данное уравнение – к виду

или

.

Данная линия – эллипс (см. рис.1)..

Можно указать и базис, в котором уравнение эллипса принимает канонический вид. Его легко получить, исходя из собственных векторов линейного пребразованияпреобразования с матрицей :

Нормируя векторы и , получим векторы

и .

Базис , и будет искомым ортонормированным базисом, в котором данное уравнение принимает канонический вид.

Запишем теперь формулы преобразования координат. Если обозначить векторы исходного базиса и , то

.

Здесь коэффициенты разложения представляют собой направляющие косинусы вектора , т.е. . Тогда уравнения связи новых и старых координат имеют вид:

Если подставим эти выражения в данное уравнение, то, преобразовав его, убедимся, что будет получено то же каноническое уравнение.

-2

00 00

-1 ----1

Рис. 1

Условия задач типового расчёта

Вариант

1. РРешить матричное уравнение: ,

где = , , , .

Полученный результат проверить подстановкой.

2. Даны векторы

Установить, при каких значениях параметра векторы образуют базис.

. Найти координаты вектора в базисе . Полученную систему решить с помощью обратной матрицы.

.

3. Решить систему по формулам Крамера.

, , .

4. Исследовать системы на совместность. Совместные системы решить методом Гаусса.

, .

5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, сделать чертёж:

Вариант

1. Решить матричное уравнение: ,

где , , , = .

Полученный результат проверить подстановкой.

2. Даны векторы

Установить, при каких значениях параметра векторы образуют базис. Найти координаты вектора в базисе . Полученную систему решить с помощью обратной матрицы.

.

3. Решить систему по формулам Крамера.

, , .

4. Исследовать системы на совместность. Совместные системы решить методом Гаусса.

, .

5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, сделать чертёж:

3 вариант

Вариант

1. Решить матричное уравнение: ,

где , , , = .

Полученный результат проверить подстановкой.

2. Даны векторы

Установить, при каких значениях параметра векторы образуют базис. Найти координаты вектора в базисе . Полученную систему решить с помощью обратной матрицы.

.

3. Решить систему по формулам Крамера.

, , , .

4. Исследовать системы на совместность. Совместные системы решить методом Гаусса.

, .

5. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

6. Привести уравнение кривой второго порядка к каноническому виду, сделать чертёж:

5 вариант