![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Введение. В данном разделе рассматриваются методы многомерного параметрического прогнозирования, а также метод многомерной линейной экстраполяции.
В данном разделе рассматриваются методы многомерного параметрического прогнозирования, а также метод многомерной линейной экстраполяции. После изучения данного раздела рекомендуется ответить на вопросы для самопроверки и на вопросы теста 4. В случае если ответы на какие-либо вопросы вызовут затруднение или неуверенность, рекомендуется прочитать учебное пособие Голик, Е.С. Теория и методы статистического прогнозирования: учебное пособие /Е.С. Голик, О.В. Афанасьева. – СПб.: Изд-во СЗТУ, 2007. – 182 с., (с. 58 – 68). Как отмечалось выше, различают две задачи экстраполяции – статическую и динамическую. Во втором случае задача экстраполяции сводится к прогнозированию поведения процесса во времени, то есть по его наблюдаемому отрезку и на основе каких-то априорных данных следует оценить дальнейшее поведение процесса во времени. Статическая экстраполяция связана с параметрическим прогнозированием на плоскости или с прогнозированием в пространстве. Это означает, что аргументом здесь является вектор параметров и данный вид экстраполяции состоит в оценке значений векторного поля по отдельным наблюдениям. Содержательную задачу многомерной параметрической экстраполяции, или, другими словами, пространственной экстраполяции, удобно описывать в следующих терминах. Пусть имеется конечное множество ситуаций – точек в пространстве ситуаций, где определены в ретроспекции некоторые решения (в общем виде – численные векторы). Задача экстраполяции состоит в том, чтобы оценить значение вектора решения в ситуации, которой не содержится в указанном множестве. В последнее время для решения такого рода задач все большее применение находит так называемый метод многомерной линейной экстраполяции (ММЛЭ). Задачу прогнозирования часто можно представить как задачу проектирования, то есть преобразования технического задания (объема предпрогнозной информации) в проект (прогноз). Если техническое задание обозначить вектором Х, а проект – Y, то процесс проектирования (прогнозирования) реализует преобразование
где Для автоматизации этого процесса необходимо формализовать процедуру С одной стороны, можно вскрыть причинно-следственный механизм (правила проектирования), формализовать его и, запрограммировав соответствующим образом ЭВМ, получить с ее помощью проекты Y по техническим заданиям Х. Однако, как легко заметить, этот подход требует детального изучения процесса и реализуется лишь для очень простых конкретных задач. Можно поступить иначе. Обычно имеется опыт проектирования изделий такого ряда, то есть матрица из n прецедентов (образцов-аналогов)
где
Тогда, экстраполируя этот опыт (ретроспективную информацию) на новое техническое задание (новый вектор параметров) Таким образом, экстраполяция сводится к оценке значения Отметим, что если X и Y измеряются в метрических шкалах и являются векторами
то таблицу прецедентов можно представить в виде числовой матрицы
Выбор алгоритма экстраполяции F, очевидно, зависит от количества имеющейся информации. Пусть нам известно только k прецедентов, Если число наблюдений k соизмеримо с размерностью вектора X, то можно также решить задачу путем построения линейной модели
Интерес представляет случай, когда число k наблюдений мало и недостаточно для априорного построения линейной модели, то есть
Решим задачу экстраполяции в этих условиях информационной недостаточности. Множество векторов всех возможных ситуаций X обозначим через {X}, а соответствующее множество векторов Y решений – через {Y}. Линейную модель вида (4.1) построим на подмножествах векторов {
где символ «®» обозначает соответствие. Исходя из того, что элементы линейного пространства могут быть представлены в виде полиномов степени не выше
где Для доопределения этих функций на подмножествах { I. Преобразование
II. Каждому вектору
Таким образом, сформулируем полученный алгоритм решения задачи: · преобразуем · отображаем · отождествляем Проиллюстрируем идею метода на простом примере двумерного пространства ситуаций. Для построения алгоритма экстраполяции введем два линейных параметризованных пространства (рис. 4.1): двумерное пространство ситуаций X, где каждая ситуация определяется парой параметров
Рис. 4.1. Графическая интерпретация нахождения: а) проектной ситуации Предположим, что известны две проектные ситуации Задача ставится следующим образом: дана проектная ситуация Через известные ситуации проводим прямую линию, являющуюся подпространством проектных ситуаций { В соответствии с изложенным алгоритмом подпространства ситуаций и решений находим {
где Так как
где Решение в числовом виде рассмотрим на основе модельного примера в трехмерном пространстве. Имеются две проектные функции: Условия задачи приведены в табл. 4.1.
Таблица 4.1. Условия задачи
Значение Так как то Вводим в рассмотрение функцию близости: Минимизируем функцию близости, для чего определим ее производную по параметру l:
откуда
Таким образом, оценка погрешности для данного примера Рассмотрим пример в пятимерном пространстве. Исследователю известно три ретроспективные ситуации: Как и в предыдущем примере, полагаем, что в ситуации Решим задачу в двух вариантах. Вначале воспользуемся информацией по двум проектным ситуациям: Алгоритм решения задачи аналогичен рассмотренному ранее, то есть вначале составляем подпространство известных ситуаций:
Формируем квадратичную функцию близости новой ситуации к подпространству
Таблица 4.2. Исходные данные
Минимизируем квадратичную функцию близости, для чего находим производную по к нулю:
Решая уравнение, находим параметр По формуле экстраполяции, отождествляя
Зная точное значение выходной характеристики системы, оцениваем относительную погрешность экстраполяции Решим эту же задачу, используя более полную информацию – проектные ситуации Как и в первом случае, составляем подпространство известных ситуаций: вводим квадратичную функцию близости новой ситуации Минимизируем функцию близости, для чего приравниваем производную по переменным параметрам Решая систему уравнений, находим переменные параметры
Построив подпространство решений по формуле и вводя тождества
Используя точное значение модельной задачи, оценим относительную погрешность экстраполяции Сравнивая результаты экстраполяции характеристик системы Таким образом, рассмотренный метод применим для восстановления линейной функции в случае малого числа наблюдений. Если восстанавливаемая функция нелинейна, метод можно применять при любом числе наблюдений. В этом случае значение функции в новой ситуации определяется не по всем имеющимся наблюдениям, а лишь по ближайшим к новой ситуации. В результате осуществляется локально-линейное приближение нелинейной функции. Кроме задач прогнозирования, метод применим для восстановления числовых таблиц, для оценки числовых характеристик функций, для решения задач квалиметрии и тому подобных. В табл. 4.3 представлены в относительных единицах (по отношению к характеристикам «Онест Джон») тенденции роста качественных характеристик основных элементов, а также технического уровня летательных аппаратов США.
Таблица 4.3. Тенденции роста качественных характеристик РК
В качестве контрольного для проверки точности алгоритма используем значение Таким образом, имеются три альтернативы Необходимо определить показатель технического уровня системы с параметрами Формируем подпространство известных ситуаций: Определим квадратичную функцию близости новой ситуации к подпространству Решая систему уравнений, находим параметры, минимизирующие функцию близости:
Построив подпространство решений по формуле и вводя тождества При предположении, что восстанавливаемая функция нелинейна, используем лишь ближайшие лишь к новой ситуации наблюдения, то есть
минимизируя
получим Решение для ситуации
В этом случае относительная погрешность экстраполяции При решении методом пропорционального сдвига
Минимизируя эту функцию по p и
Таким образом, алгоритм многомерной линейной экстраполяции позволяет с удовлетворительной точностью восстанавливать неизвестный обобщенный показатель прогнозируемой альтернативы объекта в условиях малого числа наблюдений.
Вопросы для самопроверки по разделу 4 1. В чем суть статистической экстраполяции? 2. Что такое метод многомерной линейной экстраполяции7 3. Какой метод используется для восстановления неизвестного обобщенного показателя прогнозируемой альтернативы объекта в условиях малого числа наблюдений? 4. Как найти оптимальную выходную характеристику системы для новой ситуации 5. Как происходит минимизация функции близости?
|