Исходные условия для задач .

На рынке обращаются два вида взаимно независимых рисковых активов А и В, характеризующиеся значениями ожидаемой доходности 18% и 8% соответственно, значениями риска, измеряемого стандартным отклонением, – 5% и 2% соответственно.

Кроме того, существует безрисковый актив С с фиксированной доходностью 5%.

Задача 1. «Расчет основных характеристик портфеля, составленного из рисковых и безрисковых активов»

Для получения инвестором дохода, равного 11% от величины средств, вложенных им в активы А, В и С, определить:

а) структуру и риск всех вложений инвестора;

б) долю средств инвестора, вложенных им в портфель, составленный из рисковых активов;

в) структуру, ожидаемую доходность и риск портфеля рисковых активов.

Дать характеристику типа поведения инвестора на рынке безрисковых активов.

Решение.

Введем принятые обозначения:

m_А = 18, m_B = 8, m_С = i = 5,

s_A = 5, s_B = 2, s_С = 0,

r_АВ = 0,

n_А, n_В – доли активов А и В в портфеле рисковых активов.

Обозначим дополнительно:

g_А, g_В, g_C, – доли активов А, В и С в общем объеме вложений инвестора, g_А + g_В + g_C = 1;

m_V , s²_V - ожидаемая доходность и риск всех вложений инвестора.

а) Из условий задачи следует, что предпочтения инвестора относительно ожидаемой доходности жестко заданы, поэтому задача оптимизации структуры вложений инвестора сводится лишь к минимизации риска и может быть записана в следующем виде:

s_V ² ® min

при: m_V = 11,

Используя формулы получим:

25g_А² + 4g_В² ® min

18g_А + 8g_В + 5 (1- g_А - g_В) = 11 или: 13g_А + 3g_В – 6 = 0

Решая задачу относительно переменных g_А и g_В посредством приравнивания к нулю первых производных функции Лагранжа (L), имеем:

L = 25g_А² + 4g_В² - l(13g_А + 3g_В – 6) ® min

dL/dg_А = 50g_А - 13l = 0

dL/dg_B = 8g_B - 3l = 0

dL/dl = 6 - 13g_А - 3g_В = 0

Оптимальная структура вложений инвестора:

g_А* = 0, 35; g_В* = 0, 5; g_С* = 0, 15

Оптимальное значение риска вложений инвестора:

s²_V* @ 4, 06 (или s_V* @ 2, 02)

б) из этого следует, что в оптимальной структуре вложений инвестора доля средств, размещенных им в портфель, составленный из рисковых активов А и В, составляет:

g_А* + g_В* = 0, 85

Структуру портфеля из рисковых активов можно определить как:

n_А = g_А / (g_А + g_В); n_В = g_В / (g_А + g_В)

Подставляя полученные значения, получим:

n_А^* = 0, 35 / 0, 85 = 0, 41; n_В^* = 0, 5 / 0, 85 = 0, 59;

в) Ожидаемая доходность и риск портфеля рисковых активов определяются по вышеприведенным формулам с учетом полученных значений:

m_p = 12, 1; s²_p @ 5, 6 (или s_p @ 2, 36)

Из анализа результатов видно, что, размещая средства в рисковые и безрисковые активы, инвестор добивается снижения рискованности своих вложений по сравнению с вложениями только в портфель, составленный из рисковых активов (s_V * < s_p^* ).

Тип поведения инвестора на рынке безрисковых активов определяется оптимальной структурой его вложений: т.к. полученное значение g_С^* положительно, инвестора является кредитором и не привлекает дополнительных заемных средств для увеличения размеров своих вложений с целью получения большей доходности.

Задача 2. «Сравнительный расчет основных характеристик портфеля, составленного из рисковых и безрисковых активов, для различных типов инвесторов»

Определить показатели, перечисленные в пп. а) – в) задачи при условии, что инвестор желает получить доход, равный 15% от величины вложенных им средств, и сравнить их с предыдущими результатами. Охарактеризовать тип поведения инвестора на рынке безрисковых активов.

Решение.

а) Задача оптимизации структуры вложений инвестора формулируется

s_V ² ® min

при:

m_V = 15,

Или:

25g_А² + 4g_В² ® min

18g_А + 8g_В + 5 (1- g_А - g_В) = 15 или: 13g_А + 3g_В – 10 = 0

Функция Лагранжа:

L = 25g_А² + 4g_В² - l(13g_А + 3g_В – 10) ® min

dL/dg_А = 50g_А - 13l = 0

dL/dg_B = 8g_B - 3l = 0

dL/dl = 10 - 13g_А - 3g_В = 0

Оптимальная структура вложений инвестора:

g_А^* = 0, 57; g_В^* = 0, 83; g_С^* = - 0, 4

Оптимальное значение риска вложений инвестора:

s²_V* @ 10, 88 (или s_V * @ 3, 3)

б) доля средств, размещенных инвестором в портфель, составленный из рисковых активов А и В, составляет:

g_А^* + g_В^* = 1, 4

Структура портфеля, составленного из рисковых активов:

n_А^* = 0, 57 / 1, 4 = 0, 41; n_В^* = 0, 83 / 1, 4 = 0, 59

т.е. совпадает с результатами решения предыдущей задачи

в) Ожидаемая доходность и риск портфеля рисковых активов остаются такими же, как и в предыдущей задаче:

m_p = 12, 1; s_p² @ 5, 6 (или s_p @ 2, 36)

Таким образом, более высокие требования инвестора к уровню доходности его вложений (т.е. его предпочтения относительно доходности) не меняют структуру и характеристики ожидаемой доходности и риска портфеля, формируемого из рисковых активов А и В, при условии обращения на рынке безрискового актива С (иллюстрация теоремы сепаратности).

Предпочтения инвестора, выразившиеся в желании получить доход от его вложений в размере 15%, изменили лишь тип его поведения на рынке безрисковых активов: в этом случае он становится заемщиком (т.к. значение g_С^* < 0). Иными словами, для получения большей доходности инвестору недостаточно только его собственных средств, и с этой целью он заимствует дополнительные средства по фиксированной ставке i = 5%, увеличивая объемы своих вложений в портфель рисковых (и более доходных) активов на 40%.

Однако в этом случае возрастает общий риск его вложений (s_V* @ 3, 3), по сравнению с риском портфеля, составленного из рисковых активов (s_p @ 2, 36). В этом случае s_V * > s_p^* .

9.4. Задачи и алгоритмы их решения на компьютере.