Формула Циолковского для многоступенчатой ракеты

Основная задача ракеты – сообщить заданному полезному грузу определенную скорость. В зависимости от полезного груза и не­обходимой скорости назначается и запас топлива. Чем больше груз и конечная скорость, тем больший запас топлива M_Т должен нахо­диться на борту, а следовательно, тем большим сказывается стар­товый вес ракеты, тем больше необходима тяга двигателя, что приводит к увеличению веса двигательной установки и веса всей конструкции ракеты в целом:

­ M_П.Г и ­ V_К ®­ M_Т ® М ₀ ® ­ R ®­ M_{констр.}.

Из формулы Циолковского (61) следует, что увеличение конечной скорости ракеты может быть достигнуто либо увеличением эффективной скорости истечения продуктов сгорания из сопла ракетного двигателя, либо уменьшением относительной конечной массы. Реальный предел для существующих конструкций на сегодня м а максимально достижимое для химических ракетгых двигателей значение = 4400 м/с (топливо – ''водород – кислород"). Тогда:

м/с.

Далее будет показано, что для выведения полезного груза на низкую круговую орбиту Земли необходима характеристическая скорость V_x = 9400 м/с (необходимая фактическая скорость V _факт = 7800 м/с). Разность между ними – = 1600м/с – это суммарные потери скорости, обусловленные совокупностью потерь скорости из-за отличий реальных условий полета от идеа­льных.

Приведенные количественные опенки свидетельствуют, что достижение первой космической скорости для создания ИСЗ Земли находится на пределе реальных возможностей одноступенчатых ра­кет с двигателем на химическом топливе. Такая одноступенча­тая ракета уже создана в Японии – в 1986 г. с ее помощью был осуществлен запуск ИСЗ массой» 800 кг на круговую орби­ту Земли. Добиться этого удалось за счет широкого применения в конструкции неметаллических и композиционных материалов, что обеспечило снижение ниже вышеуказанного предела. Однако вы­вод больших полезных грузов с помощью одноступенчатых ракет в ближайшем будущем не представляется возможным.

Основной недостаток одноступенчатой ракеты заключается в том, что конечная скорость сообщается не только полезному гру­зу, но и всей конструкции в целом. При увеличении веса конструк­ции это ложится дополнительным бременем на энергетику одно­ступенчатой ракеты, что накладывает ограничения на величину достижимой скорости.

Одна из плодотворных идей К.Э. Циолковско­го относится к созданию многоступенчатых ракет, способных за счет избавления от ненужной (балластной) массы освободившихся от топлива баков и других элементов конструкции значительно по­высить скорость сравнительно с простой одноступенчатой ракетой.

На рис. 2.8 приведена схема трехступенчатой ракеты с так называемым поперечным делением (схема " Тандем").

Под СТУПЕНЬЮ многоступенчатой ракеты понимается одноступенчатая ракета, состоящая из ракетного блока (РБ) и условного полезного груза в виде оставшейся (верхней) части ракеты. Т.о., последующая i -я ступень является полезным грузом преды­дущей (i – 1)-й ступени.

Вывод полезного груза с помощью многоступенчатой ракеты осуществляют следующим образом.

На старте, работает наиболее мощный двигатель первой ступени, способный поднять ра­кету со стартового устройства и сообщить ей определенную скорость. После того, как будет израсходовано топливо в баках первой ступени, она отбрасывается, а дальнейшее увеличение скорости достигается за счет работы двигателей следующей сту­пени и т.д. Теоретически процесс деления можно вести до беско­нечности. Однако, на практике выбор числа ступеней следует рас­сматривать, как предмет поиска оптимального конструктивного варианта. Увеличение числа ступеней при заданной массе М _П.Г. полезного груза ведет к уменьшению стартовой массы М ₀ ракеты, но при переходе от n ступени к (n + 1)-й выигрыш с числом n уменьшается, ухудшаются весовые характеристики отдельных ракетных блоков, увеличиваются экономические затраты и снижается надежность. Продемонстрируем это на реальном числовом примере:

Таким образом, в отличие от одноступенчатой, в многосту­пенчатой ракете одновременно с полезным грузом заданную конечную скорость приобретает масса конструкции не всей ракеты, а только последней ступень. Массы же ракетных блоков предыдущих ступеней получают меньшие скорости, что приводит к экономия энергетических затрат.

Введем следующие обозначения:

, – соответственно текущее и конечное значения относительной массы i -й ступени;

– скорость истечения при полете i -й ступе­ни;

, –соответственно текущее значение скорости и конечное значение, приобретенное i -й ступенью.

Тогда:

.

После того, как выработается, топливо 1-й ступени:

,

где – относительная конечная масса 1-й ступени;

M_TI- – масса топлива в баках 1-й ступени.

Скорость полета 2-й ступени складывается из конечной скорости 1-й ступени и текущей скорости, приобретенной 2-й ступенью:. После выработки топлива 2-й ступени:

,

где: – относительная конечная масса 2-й ступени;

M _{0 II} – стартовая масса 2-й ступени;

M_ТII – масса топлива в баках 2-й ступени.

Тактом образом, каждая последующая ступень дает приращение скорости. В итоге, конечная скорость многоступенчатой ракеты определится как сумма скоростей, приобретенных всеми n ступенями:

. (2.24)

Если то:

.

В подобном случае часто произведение приравни­вают некоторому эквивалентному значению, называемому суммарной относительной массой. Тогда:

. (2.25)

Суммарная относительная масса – это относительная конечная масса такой гипотетической одноступенчатой ракеты, ко­торая приобретает ту же скорость, что и соответствующая много­ступенчатая ракета при равных скоростях истечения по ступеням.

Типичный график набора скорости для многоступенчатой ракеты приведен на рис. 2.9. В осях m_I, V _I и m_II, V _II построе­ны зависимости для каждой ступени в соответствии с (2.24). В осях, показана зависимость (2.26).

Рис. 2.9. График набора скорости двухступенчатой ракеты в зависимости от m_I, m_II,