Парные сравнения.

Номер эксперта обозначим . Эксперт сравнивает каждую пару объектов и . Его оценка может выражать:

а) просто факт предпочтения объекта по сравнению с объектом : . Если наоборот, то .

б) балльную оценку предпочтения: .

в) долю суммарной интенсивности предпочтения, приходящуюся на объект : .

г) во сколько раз один объект важнее другого: .

По результатам экспертизы определяют средние арифметические оценки по всем экспертам:

: например, , где число экспертов.

Случай а) сводится к случаю в), если трактовать как долю экспертов, предпочитающих объект перед объектом .

Случай б) сводится к в) после введения таких оценок: .

Случай в) сводится к г) при использовании оценок: .

Поэтому рассмотрим обработку результатов экспертизы применительно к случаю г).

Ясно, что в идеальном случае должно выполняться условие транзитивности:

, (8.8)

в частности , откуда , т.е. в матрице на диагоналях стоят 1.

Если условие (8.8) выполняется, то существует такой положительный вектор , что , где число объектов. Компоненты вектора это как-бы идеальные оценки объектов (количественные характеристики ценности или важности объектов).

Реальная матрица условию (8.8) обычно не удовлетворяет, и ее приходится аппроксимировать идеальной матрицей, используя, например, следующие соображения.

Для идеальной матрицы справедливы равенства для любого :

. (8.9)

Эти равенства можно записать так:

. (8.10)

Собственный вектор матрицы – это такой, который при умножении на матрицу направления не меняет, а меняет только свою величину. Изменение величины называется собственным числом матрицы. Для идеальной (состоятельной) матрицы собственное число равно .

Для матрицы, удовлетворяющей условию (8.8), число является наибольшим характеристическим числом, а искомый вектор собственным вектором (8.10).

Из теоремы Перрона-Фробениуса следует, что любая матрица имеет наибольшее характеристическое число . Поэтому для матрицы, не удовлетворяющей условию (8.8), вектор ищется путем решения уравнения:

, (8.11)

причем все компоненты такого вектора обязательно оказываются положительными.

Существуют специальные методы решения уравнения (8.11). Мы воспользуемся итеративным методом, суть которого заключается в последовательном приближении

и .

и получаются на й итерации в соответствии с формулой

, (8.12)

где сумма всех компонент вектора , а в качестве можно взять любой положительный вектор, например, .

Итеративный процесс заканчивается, когда вектор перестает изменяться для заданной точности. Величина характеризует степень близости матрицы к идеальной (состоятельной), т.е. удовлетворяющей условию (8.8).

Пример 8.3.Четыре объекта сравниваются двумя экспертами. Требуется определить коэффициенты важности объектов. Получены следующие результаты: и . Определяем средний балл . Выбираем . . и . Далее повторяем итерации.   . и . . и . Изменения прекратились и вычисления можно закончить.