Квантованные неполярные оптические моды

Квантование неполярных оптических мод математически выражается наложением граничного условия, требующего, чтобы амплитуды колебаний обращались в нуль в непосред­ственной близости от границ между слоями А-В и В-А. При этих условиях мы полу­чаем А-подобные и В-подобные квантованные оптические моды, зависимость частот которых от дискретных векторов k можно найти из соответствующих дисперсионных соотношений для объемного случая:

Это уравнение можно использовать для LO и для ТО мод. Соответствующие сме­щения атомов меняют знак при переходе от одного атомного слоя к соседнему, как это требуется для оптических мод, с величинами, определяемыми огибающими функциями

u_m (z) = cos k_mz, m= 1, 3, 5..; u_m (z)= sin k_mz, m= 2, 4, 6 ,...,

где z указывает на положение атомной плоскости вдоль оси сверхрешетки, а значение z= 0 находится в середине слоя.

Рис. 61. Картина смещений для AlAs-подобных квантованных LO мод в сверхрешетке (GaAs)₅/(AlAs)₅; k_х = 0, k_г→ ∞. а) – слой GaAs, б) – слой AlAs. Крупным кружками (голубыми) показана величина смещения в модах LO₁, LO₂, LO₃ для ато­мов As, а маленькими (зелеными) кружками — для атомов Ga и А1.

Обычно написанное выражение является хорошим приближением для эффективного волнового вектора. Однако, в частном случае короткопериодных сверхрешеток (когда период состоит только из нескольких атомных слоев) следует понять, будет ли приближение, в котором на границе каждого слоя материала волновая функция в точности равна нулю, наилучшим. Расчет показывает (см. рис.61), что разумнее считать огибающую функцию равной нулю на первых атомах «другого сорта» (т.е. на атомах А для В-подобных колебаний и наоборот). Колебательные амплитуды ведут себя в соответствии с упомянутым выражением, но эффективные векторы k_т нужно сделать слегка меньше, чем это указано: амплитуды исчезают не на номинальной границе слоя AlAs, а около первого слоя Ga, вне границы.

Это связано с тем, что граница образована слоями As, которые должны все еще колебаться на частотах AlAs, в то время как Ga, имеющий гораздо большую массу, чем Аl, не будет колебаться. Последний факт можно учесть, заменив толщину слоя d _A, в выражении на d_{A, B}+ а_о /4, где а_о — объемная постоянная решетки, которая соответствует четырем атомным слоям для материалов типа алмаза и цинковой обманки.