Выборочные начальные и центральные моменты. Асимметрия. Эксцесс.

Среднее выборочное и выборочная дисперсия являются частным случаем более общего понятия – момента статистического ряда.

Начальным выборочным моментом порядка p называется среднее арифметическое p -х степеней всех значений выборки: .

Из определения следует, что начальный выборочный момент первого порядка: .

Центральным выборочным моментом порядка p называется среднее арифметическое p - хстепеней отклонений наблюдаемых значений выборки от выборочного среднего :

.

Из определения следует, что центральный выборочный момент второго порядка:

.

Выборочным коэффициентом асимметрии называется число , определяемое формулой: .

Выборочный коэффициент асимметрии служит для характеристики асимметрии полигона и гистограммы вариационного ряда. Если полигон асимметричен, то одна из ветвей его, начиная с вершины, имеет более пологий «спуск», чем другая.

Если , то более пологий «спуск» полигона наблюдается слева (левый хвост длиннее); если — справа (правый хвост длиннее). В первом случае асимметрию называют левосторонней, а во втором — правосторонней. Если распределение симметрично, то =0.

Выборочным коэффициентом эксцесса, или коэффициентом крутости называется число , определяемое формулой .

Выборочный коэффициент эксцесса служит для сравнения на «крутость» выборочного распределения с нормальным распределением. Если , то полигон более плосковершинный; если , то полигон более островершинный.

(Выборочная) медиана для дискретного распределения — варианта, которая разделяет дискретный вариационный ряд на две равные по количеству вариант части или среднее арифметическое двух центральных вариант.

(Выборочная) медиана для интервального распределения вычисляется по формуле , где n — объем выборки, h — длина интервала, — частота медианного (среднего) интервала, — начало медианного (среднего) интервала, .

(Выборочная) мода для дискретного распределения — варианта, которая имеет наибольшую частоту.

(Выборочная) медиана для интервального распределения вычисляется по формуле , где h — длина интервала, — максимальная частота, — начало модового интервала, — частота, предшествующая максимальной, — частота, последующая за максимальной.