![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Частотный критерий устойчивости Попова
Рассмотрим нелинейные системы, структурные схемы которых можно привести к виду, показанному на рисунке 3.5. В этой структурной схеме имеется безынерционный нелинейный элемент с характеристикой и линейная часть с передаточной функцией W (s), имеющей статический коэффициент передачи, равный единице, и импульсной переходной функцией
Рисунок 3.5 - Структурная схема системы с безынерционным нелинейным элементом Изображение решения дифференциального уравнения системы выразим через изображения воздействия F (s) и координаты Переходя к оригиналам, получаем интегральное уравнение Вольтерра второго рода: Будем рассматривать систему при таких воздействиях, которые ограничены по модулю и являются исчезающими функциями времени. Обозначим максимальное воздействие Исчезающей функцией времени Если воздействие отсутствует, то из (3.23) следует Если нелинейная характеристика проходит через начало координат, т. е. Ф(0)=0, то уравнение (3.24) имеет тривиальное решение: которое соответствует положению равновесия. Положение равновесия устойчиво в смысле Ляпунова, если существует такое положительное число имеет место неравенст где А — сколь угодно малое положительное число. В зависимости от того, при каких значениях Изложим частотный метод определения устойчивости, предложенный В. М. Поповым [5], при использовании которого задача решается более просто приемами, аналогичными частотным способам исследования устойчивости линейных систем. Если в системе автоматического регулирования имеется лишь одна однозначная нелинейность то, объединив вместе все остальные (линейные) уравнения системы, можно всегда получить общее уравнение линейной части системы (см. рисунок 3.6, а) в виде: где причем будем считать т < п.
Рисунок 3.6 - Система автоматического регулирования с однозначной нелинейностью Пусть нелинейность y=F(x) имеет любое очертание, не выходящее за пределы заданного угла arctg k (см. рисунок 3.6, б), т. е. при любом х, 0< F(x) < kx. (3.29) Пусть многочлен Q(p), или что одно и то же, характеристическое уравнение линейной части Q(p) =0, имеет все корни с отрицательными вещественными частями или же, кроме них, имеется еще не более двух нулевых корней. Другими словами, допускается, чтобы Приведем без доказательства формулировку теоремы В.М.Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такое конечное действительное число h, при котором при всех где При наличии одного нулевого полюса требуется еще, чтобы а при двух нулевых полюсах Теорема справедлива также и при наличии в знаменателе Q(p) передаточной функции линейной части не более двух чисто мнимых корней, но при этом требуются некоторые другие простые добавочные условия [5], называемые условиями предельной устойчивости. Другая формулировка той же теоремы, дающая удобную графическую интерпретацию, связана с введением видоизмененной частотной характеристики График Далее, выполнив соответствующие математические преобразования, рассмотрим следующую графическую интерпретацию теоремы В. М. Попова. Рисунок 3.7 - Видоизмененные частотные характеристики Преобразуем левую часть неравенства (3.30): Тогда, положив и использовав соотношение (3.31), получим вместо (3.30) для теоремы В. М. Попова условие: при всех Очевидно, что равенство представляет уравнение прямой на плоскости Отсюда вытекает следующая графическая интерпретация теоремы В. М. Попова: для установления устойчивости нелинейной системы достаточно подобрать такую прямую на плоскости На рисунке 3.8 приведена графическая интерпретация теоремы В. М. Попова для установления устойчивости нелинейной системы. Как видно, рисунки 3.8, а и 3.8, б соответствуют устойчивым системам, а рисунки 3.8, в и 3.8, г – неустойчивым.
Рисунок 3.8 - Графическая интерпретация теоремы В. М. Попова для определения устойчивости нелинейной системы
|