Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Абсолютная устойчивость вынужденного процесса в нелинейной системе
В нелинейных системах в ряде случаев необходимо определить не только положение равновесия системы, но также и устойчивость определенных процессов, поскольку в общем случае устойчивость равновесия в нелинейной системе может и не совпадать с устойчивостью процесса [1, 5, 7]. Условие абсолютной устойчивости вынужденного процесса в нелинейной системе определяется выражением: (3.1) Путем соответствующей замены переменных в интеграле выражение (3.1) можно представить в виде: . (3.2) Допустим, что существует вынужденный процесс и что в момент t= 0 к системе приложено исчезающее воздействие f1(t). Тогда f1(t) налагается на действовавшее ранее f(t), апроцесс хв (t) также получает вариацию ξ (t): . (3.3) Из уравнения (3.3), выражающего возмущенный процесс, вычтем уравнение (3.1) вынужденного процесса и получим уравнение для отклонения: , (3.4) где (3.5) Учитывая (3.5) и (3.2), уравнение (3.4) представим в таком виде: . (3.6) Это уравнение отличается от уравнения, для которого был выведен критерий устойчивости Попова [1, 5, 8], тем, что функция теперь зависит явно от времени, поскольку нелинейный элемент обладает нестационарной характеристикой. В [5, 6] доказано следующее условие: для того чтобы процесс в нелинейной системе, вызванный ограниченным внешним воздействием, был абсолютно устойчив, достаточно, чтобы при заданном значении r преобразованная линейная часть была устойчива и чтобы частотная характеристика линейной части удовлетворяла условию: (3.7) а производная нелинейной характеристики принадлежала бы полосе , т. е. (3.8) где - сколь угодно малая положительная величина. В случае, если линейная часть (непреобразованная) устойчива, полагаем и получаем Ф(х) или Геометрически это означает, что характеристика разомкнутой линеаризованной системы , которая получается из исходной нелинейной системы в результате замены нелинейного элемента линейным с коэффициентом передачи К, должна лежать правее прямой , или же характеристика должна лежать правее прямой, (см. рисунок 3.1, а). При этом характеристики нелинейного элемента должны удовлетворять условиям: . е. характеристика должна лежать в секторе (01, К1) новой системы координат (см. рисунок 3.1, б). Очевидно, наклон 01К1 равен наклону ОК, если выполняется условие . Рисунок 3.1 - Характеристика разомкнутой линеаризованной системы В общем случае, когда разомкнутая линейная система неустойчива или нейтральна и r отлично от нуля, имеем:
где . Пусть. Тогда, заменяя неравенство (3.10) равенством, получаем уравнение границы области, внутрь которой не должна входить характеристика:
что можно привести к виду: (3.11) Уравнение (3.11) определяет семейство окружностей, центр которых лежит на отрицательной вещественной полуоси и которые имеют общую точку касания . Теперь можно дать следующую геометрическую интерпретацию критерию абсолютной устойчивости процессов в общем случае: для того чтобы процессы в нелинейной системе при ограниченных воздействиях были абсолютно устойчивы достаточно, чтобы производная от характеристики нелинейного элемента принадлежала полосе сколь угодно малая положительная величина и чтобы частотная характеристика линеаризованной разомкнутой системы , удовлетворяя частотному критерию Найквиста, находилась вне соответствующей точке А окружности (см. рисунок 3.2, а), или же чтобы характеристика лежала вне окружности, пересекающей ось абсцисс в точках (см. рисунок 3.2, б).
Рисунок 3.2 - Геометрическая интерпретация критерия абсолютной устойчивости процессов в нелинейной системе
|