Абсолютная устойчивость вынужденного процесса в нелинейной системе

В нелинейных системах в ряде случаев необходимо определить не только положение равновесия системы, но также и устойчивость определенных процессов, поскольку в общем случае устойчивость равновесия в нелинейной системе может и не совпа­дать с устойчивостью процесса [1, 5, 7].

Условие абсолютной устойчивости вынужденного процесса в нелинейной системе определяется выражением:

(3.1)

Путем соответствующей замены переменных в интеграле выра­жение (3.1) можно представить в виде:

. (3.2)

Допустим, что существует вынужденный процесс и что в мо­мент t= 0 к системе приложено исчезающее воздействие f₁(t). Тогда f₁(t) налагается на действовавшее ранее f(t), апроцесс х_в (t) также получает вариацию ξ (t):

. (3.3)

Из уравнения (3.3), выражающего возмущенный процесс, вычтем уравнение (3.1) вынужденного процесса и получим урав­нение для отклонения:

, (3.4)

где (3.5)

Учитывая (3.5) и (3.2), уравнение (3.4) представим в таком виде:

. (3.6)

Это уравнение отличается от уравнения, для которого был выведен критерий устойчивости Попова [1, 5, 8], тем, что функция теперь зави­сит явно от времени, поскольку нелинейный элемент обладает нестацио­нарной характеристикой.

В [5, 6] доказано следующее условие: для того чтобы про­цесс в нелинейной системе, вызванный ограниченным внешним воз­действием, был абсолютно устойчив, достаточно, чтобы при за­данном значении r преобразованная линейная часть была устойчива и чтобы частотная характеристика линейной части удовлетво­ряла условию:

(3.7)

а производная нелинейной характеристики принадлежала бы полосе , т. е.

(3.8)

где - сколь угодно малая положительная величина.

В случае, если линейная часть (непреобразованная) устой­чива, полагаем и получаем Ф(х)

или

Геометрически это означает, что характеристика разомкнутой линеаризованной системы , которая получается из исход­ной нелинейной системы в результате замены нелинейного эле­мента линейным с коэффициентом передачи К, должна лежать правее прямой , или же характеристика должна лежать правее прямой, (см. рисунок 3.1, а). При этом характеристики нелинейного элемента должны удовлетворять условиям:

. е. характеристика должна лежать в секторе (0₁, К₁) новой системы координат (см. рисунок 3.1, б). Очевидно, наклон 0₁К₁ равен наклону ОК, если выполняется условие .

Рисунок 3.1 - Характеристика разомкнутой линеаризованной системы

В общем случае, когда разомкнутая линейная система неустой­чива или нейтральна и r отлично от нуля, имеем:

где .

Пусть. Тогда, заменяя неравенство (3.10) равенством, получаем уравнение границы области, внутрь кото­рой не должна входить характеристика:

что можно привести к виду:

(3.11)

Уравнение (3.11) определяет семейство окружностей, центр которых лежит на отрицательной вещественной полуоси и которые имеют общую точку касания .

Теперь можно дать следующую геометрическую интерпрета­цию критерию абсолютной устойчивости процессов в общем слу­чае: для того чтобы процессы в нелинейной системе при ограниченных воздействиях были абсолютно устойчивы достаточно, чтобы производная от характеристики нелинейного элемента принадлежала полосе сколь угодно малая положительная величина и чтобы частотная характеристика линеаризованной разомкнутой системы , удовлетворяя частотному критерию Найквиста, находилась вне соответствую­щей точке А окружности (см. рисунок 3.2, а), или же чтобы характеристика лежала вне окружности, пересекающей ось абсцисс в точках (см. рисунок 3.2, б).

Рисунок 3.2 - Геометрическая интерпрета­ция критерия абсолютной устойчивости процессов в нелинейной системе