![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Особенности нелинейных систем автоматического управления
Благодаря этим существенным особенностям даже вопрос об устойчивости системы становится здесь более сложным. Кроме структуры системы и значений ее параметров для устойчивости того или иного установившегося процесса, имеют значение здесь, в отличие от линейных систем, также и начальные условия. Возможен новый вид установившегося процесса – автоколебания, т. е. устойчивые собственные колебания с постоянной амплитудой при отсутствии внешних колебательных воздействий. Когда в системе возникают автоколебания, то установившееся состояние, соответствующее постоянному значению регулируемой величины, часто становится невозможным. Следовательно, в общем случае на плоскости параметров системы могут быть не два вида областей (устойчивости и неустойчивости), как в линейных системах, а больше: 1) область устойчивости равновесного состояния с постоянным значением регулируемой величины; 2) область устойчивых автоколебаний; 3) область неустойчивости системы; 4) области, соответствующие другим, более сложным случаям. Если процессы в системе имеют вид, указанный на рисунке 1.4, а, то равновесное состояние (х = 0) неустойчиво. В том случае, когда оба указанных на рисунке 1.4, а колебания в переходных процессах стремятся к одной и той же амплитуде и к одной и той же частоте, система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а.
На рисунках 1.4, б и 1.4, в показаны случаи, когда равновесное состояние (х= 0) системы устойчиво «в малом», т. е. при начальных условиях, не выводящих отклонения в переходном процессе за определенную величину а, и неустойчиво «в большом», т. е. при начальных условиях, выводящих отклонение в переходном процессе за пределы величины а. Здесь граничным процессом является неустойчивый периодический процесс собственного движения системы с амплитудой а (переходные процессы расходятся от него в обе стороны). На рисунке 1.4, г показан случай трех возможных установившихся состояний: - равновесное состояние (х= 0); - колебания с постоянной амплитудой а1; - колебания с постоянной амплитудой а2. При этом колебания с амплитудой а1 неустойчивы. В результате система будет устойчива «в малом» по отношению к равновесному состоянию х =0, а «в большом» система будет обладать устойчивыми автоколебаниями с амплитудой а2. Для иллюстрации особенностей нелинейной системы исследуем переходной процесс и автоколебания в релейной системе стабилизации температуры. Пусть объект представляет собой некоторую камеру. Учитывая инерционность процесса нагрева и охлаждения, запишем его уравнение в виде где θ - отклонение температуры; φ - отклонение управляющего органа; f(t) - внешние возмущения. При отклонении температуры θ появляется ток в диагонали моста того или иного направления и замыкается соответствующий контакт реле, включающего постоянное напряжение в ту или иную обмотку возбуждения электродвигателя. Приняв во внимание некоторое отставание в этом процессе включения, получим релейную характеристику. Далее, считая, что ток I пропорционален отклонению температуры объекта θ, а скорость dφ /dt отклонения управляющего органа пропорциональна напряжению на обмотках возбуждения электродвигателя, можно в данном случае выходной величиной релейной характеристики считать dφ /dt, а входной - θ (см. рисунок 1.5, а). Следовательно, уравнения управляющего устройства запишутся следующим образом Рисунок 1.5 - Переходной процесс и автоколебания в релейной системе стабилизации температуры Рассмотрим два произвольных участка переходного процесса (при f(t)=0) в данной системе (участки AB и CD на рисунке 1.5, б). На участке AB уравнение управляющего устройства согласно рисунку 1.5, в будет dφ /dt = + с. Дифференцируя (1.9) по t и подставляя туда + с, получаем при (t=0) следующее уравнение системы на участке AB а на участке BD Решение уравнения (1.12) будет откуда получаем Условимся для простоты время t от начала участка AB (см. рисунок 1.6, а). Тогда начальные условия будут
Рисунок 1.6 - Переходной процесс на участках AB и BD Аналогично для участка BD согласно (1.13), отсчитываем время t тоже от начала этого участка (см. рисунок 1.6, б), получим решение: Все остальные участки кривой переходного процесса будут определяться, очевидно, такими же решениями, но только с другими значениями величин Выясним теперь, возможны ли в данной системе автоколебания, т.е. устойчивое периодическое решение. Для этого нужно, очевидно, чтобы в конце D одного периода колебаний (см. рисунок 1.5, б) получилось точно такие же значения и, какие были в начале его A. Легко заметить, что при этом оба полупериода (AB и BD) должны быть одинаковыми вследствие симметрии характеристики (см. рисунок 1.5, а). Поэтому для определения автоколебаний достаточно рассмотреть только один участок АВ и потребовать, чтобы Обозначив период искомых автоколебаний через 2Т, а длительность участка АВ через Т, из (1.14) найдем Подставляя сюда (1.18) и замечая, что из (1.16) в котором содержатся две неизвестные: С1 и Т. Величину Т (длительность участка АВ) можно выразить из (1.15), так как известно, что в конце участка Подставив сюда значение С1 из (1.19), получим уравнение для определения полупериода автоколебаний Это трансцендентное уравнение для Т легко решается графически пересечением двух кривых Если найдено вещественное положительное значение для Т, то это свидетельствует о наличии периодического решения в данной системе. Чтобы доказать, что это соответствует автоколебаниям, нужно исследовать их устойчивость, т.е. показать, что в переходном процессе система ведет себя, как изображено на рисунке 1.4, а, но не так, как на рисунке 1.4, б, это будет показано ниже. Амплитуда найденных автоколебаний определяется как
|