Система n линейных уравнений с n переменными. Метод обратной матрицы и формулы Крамера.

Пусть число уравнений системы (1) равно числу переменных, т.е. m=n. Тогда матрица системы является квадратной, а ее определитель называется главным определителем системы.

Умножая слева обе части матричного равенства на матрицу А^-1, получим А^-1(АХ)=А^-1В. Так как А^-1(АХ)=(А^-1А)Х=ЕХ=Х, то решением системы методом обратной матрицы будет матрица столбец Х=А^-1В.

Пусть дана система трех линейных алгебраическихуравнений с тремя неизвестными :

(2)

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_j для i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел называется решением системы (2), если в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения системы обращаются в тождества.

Систему (2) можно переписать в матричном виде:

, или AX = B,

где A – это матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов:

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

(3)

Вспомогательные определители Δ ₁, Δ ₂ и Δ ₃ получаются из Δ заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (2) и оно выражается формулами:

(4)

Теорема Крамера. Пусть - главный определитель системы, а - определитель матрица, получаемой из матрицы А заменой j-го столбца столбцом свободных членов. Тогда, если , то система имеет единственное решение, определяемое по формулам:

(5)

Формулы (5) называются формулами Крамера.

Пример: Решить систему уравнений а)методом обратной матрицы; б) по формулам Крамера.