![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Основные формулыСтр 1 из 5Следующая ⇒
СТО и Квантовая механика . Релятивистская масса где m0 — масса покоя частицы; u — ее скорость; с — скорость света в вакууме; b — скорость частицы, выраженная в долях скорости света (b=u/с). Взаимосвязь массы и энергии релятивистской частицы где Е0=m0c2—энергия покоя частицы. Полная энергия свободной частицы Кинетическая энергия релятивистской частицы Импульс релятивистской частицы Связь между полной энергией и импульсом релятивистской частицы Закон Стефана—Больцмана где Re — энергетическая светимость (излучательность) абсолютно черно- го тела; s —постоянная Стефана - Больцмана; Т — термодинамическая температура Кельвина. Закон смещения Вина где lm — длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения; b — постоянная Вина. Энергия фотона где h — постоянная Планка; h- — постоянная Планка деленная на 2p; n — частота фотона; w — циклическая частота. Масса фотона где c — скорость света в вакууме; l — длина волны фотона. Импульс фотона Формула Эйнштейна для фотоэффекта где hu — энергия фотона, падающего на поверхность металла; А—работа выхода электрона; Tmax—максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона. Красная граница фотоэффекта где n0 — минимальная частота света, при которой еще возможен фотоэффект; l0 — максимальная длина волны света, при которой еще возможен фотоэффект; h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме. Формула Комптона или где l — длина волны фотона, встретившегося со свободным или слабосвязанным электроном; l/ — длина волны фотона, рассеянного на угол q после столкновения с электроном; m0 — масса покоящегося электрона. Комптоновская длина волны Давление света при нормальном падении на поверхность где Еe — энергетическая освещенность (облученность); w — объемная плотность энергии излучения; r — коэффициент отражения. Примеры решения задач Пример 7. Определить импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью u = 0, 9 с, где с — скорость света в вакууме. Решение. Импульсом частицы называется произведение массы частицы на ее скорость:
Так как скорость электрона близка к скорости света, то необходимо учесть зависимость массы от скорости, определяемую по формуле
где m — масса движущейся частицы; m0 — масса покоящейся частицы; b = u/c — скорость частицы, выраженная в долях скорости света. Заменив в формуле (1) массу т ее выражением (2) и приняв во внимание, что u=cb, получим выражение для релятивистского импульса:
Произведем вычисления: В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя E0 этой частицы, т. е. Т=Е—Е0. Так как E=mc2 и E0=m0c2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получаем
Производим вычисления: Так как во внесистемных единицах m0 c2= 0, 51 МэВ, то вычисления упрощаются: Т =0, 51× 1, 29 МэВ =0, 66 МэВ. Пример 8. Определить релятивистский импульс электрона, обладающего кинетической энергией T=5МэВ. Решение. Решение задачи сводится к установлению соотношения между релятивистским импульсом р частицы и ее кинетической энергией Т. Сначала установим связь между релятивистским импульсом и полной энергией частицы. Полная энергия Е частицы прямо пропорциональна ее массе, т. е.
Зависимость массы от скорости определяется формулой
Заменив массу m в формуле (1) ее выражением (2) и приняв во внимание, что m0c2 =E0, получим
Возведя обе части равенства (3) в квадрат, найдем
Очевидно, что Поэтому равенство (4) можно переписать в виде E2 –p2c2 =E02, откуда релятивистский импульс
Разность между полной энергией и энергией покоя есть кинетическая энергия Т частицы: Е—Е0 =Т+ Е0. Легко убедиться, что Е + Е0= Т + 2 Е0, поэтому искомая связь между импульсом и кинетической энергией релятивистской частицы выразится формулой
Вычисления удобно провести в два приема: сначала найти числовое значение радикала во внесистемных единицах, а затем перейти к вычислению в единицах СИ. Таким образом, Пример 9. Длина волны, на которую приходится максимум энергии в спектре излучения черного тела, l0=0, 58 мкм. Определить энергетическую светимость (излучательность) Re поверхности тела. Решение. Энергетическая светимость Re абсолютно черного тела в соответствии с законом Стефана— Больцмана пропорциональна четвертой степени термодинамической температуры и выражается формулой
где s— постоянная Стефана—Больцмана; Т - термодинамическая температура. Температуру Т можно вычислить с помощью закона смещения Вина:
где b — постоянная закона смещения Вина. Используя формулы (2) и (1), получаем Произведем вычисления:
Пример 10. Определить максимальную скорость umax фотоэлектронов, вырываемых с поверхности серебра: 1) ультрафиолетовым излучением с длиной волны l1= 0, 155 мкм; 2) g -излучением с длиной волны l2= 1 пм. Решение. Максимальную скорость фотоэлектронов можно определить из уравнения Эйнштейна для фотоэффекта: где e — энергия фотонов, падающих на поверхность металла; А — работа выхода; Tmax — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Энергия фотона вычисляется также по формуле
где h — постоянная Планка; с — скорость света в вакууме; l — длина волны. Кинетическая энергия электрона может быть выражена или по классической формуле
или по релятивистской формуле
в зависимости от того, какая скорость сообщается фотоэлектрону. Ско- рость фотоэлектрона зависит от энергии фотона, вызывающего фотоэф- фект: если энергия e фотона много меньше энергии покоя Е0 электрона, то может быть применена формула (3), если же e сравнима по величине с Е0, то вычисление по формуле (3) приводит к ошибке, поэтому нужно пользоваться формулой (4). 1. Вычислим энергию фотона ультрафиолетового излучения по формуле (2): или Полученная энергия фотона (8 эВ) много меньше энергии покоя электрона (0, 51 МэВ). Следовательно, для данного случая кинетическая энергия фотоэлектрона в формуле (1) может быть выражена по классической формуле (3):
откуда
Проверим, дает ли полученная формула единицу скорости. Для этого в правую часть формулы (5) вместо символов величин подставим обозначения единиц:
Найденная единица является единицей скорости. Подставив значения величин в формулу (5), найдем 2. Вычислим энергию фотона g-излучения: или во внесистемных единицах Работа выхода электрона (A = 4, 7 эВ) пренебрежимо мала по сравнению с энергией фотона (e2 = 1, 24 МэВ), поэтому можно, принять, что максимальная кинетическая энергия электрона равна энергии фотона: Tmax = ε 2 = 1, 24 МэВ. Так как в данном случае кинетическая энергия электрона больше его энергии покоя, то для вычисления скорости электрона следует взять релятивистскую формулу кинетической энергии (4). Из этой формулы найдем
Заметив, что u = cb и Tmax = e2 , получим
Произведем вычисления*: Пример 11. В результате эффекта Комптона фотон при соударении с электроном был рассеян на угол J = 90° Энергии Е0 и e2 входят в формулу в виде отношения, поэтому их можно не выражать в единицах СИ. Энергия рассеянного фотона e2 = 0, 4 МэВ. Определить энергию фотона e1 до рассеяния. Решение. Для определения энергии первичного фотона воспользуемся формулой Комптона:
где Dl= l2—l1 — изменение длины волны фотона в результате рассеяния на свободном электроне; h — постоянная Планка; т0 — масса покоя электрона; с — скорость света в вакууме: J — угол рассеяния фотона. Преобразуем формулу (1): 1) заменим в ней Dl, на l2—l1; 2) выразим длины волн l1 и l2 через энергии e1 и e2 соответствующих фотонов, воспользовавшись формулой e = hc/l; 3) умножим числитель и знаменатель Правой части формулы на с. Тогда
Сократим на hc и выразим из этой формулы искомую энергию:
где E0= m0 c2 — энергия покоя электрона. Вычисления по формуле (2) удобнее вести во внесистемных единицах. Так как для электрона E0 = 0, 511 МэВ, то Пример 12. Пучок монохроматического света с длиной волны l = 663 нм падает нормально на зеркальную плоскую поверхность. Поток излучения Фe = 0, 6 Вт. Определить: 1) силу давления F, испытываемую этой поверхностью; 2) число фотонов ежесекундно падающих на поверхность. Решение. 1. Сила светового давления на поверхность равна произведению светового давления р на площадь S поверхности: Световое давление может быть найдено по формуле где Еe – энергетическая освещенность; с - скорость света в вакууме; r - коэффициент отражения. Подставляя правую часть выражения (2) в формулу (1), получаем Так как EeS представляет собой поток излучения Фe то Произведем вычисления, учитывая, что для зеркальной поверхности r= 1: 2. Произведение энергии e одного фотона на число фотонов ni, ежесекундно падающих на поверхность, равно мощности излучения (потоку излучения): Фe = e ni Энергия фотона e = hc/l, а Задачи для самостоятельного решения 8. При какой скорости u релятивистская масса частицы в k = 3 раза больше массы покоя этой частицы?.[2, 83.108 м/с] 9. Определить скорость u электрона, имеющего кинетическую энергию Т = 1, 53 МэВ. [2, 91 × 108 м/с] 10. Электрон движется со скоростью u = 0, 6 с, где с — скорость света в вакууме. Определить релятивистский импульс р электрона. [2, 0 × 10-22 кг × м/с] 11. Вычислить энергию, излучаемую за время t = 1 мин с площади S = 1 см2 абсолютно черного тела, температура которого Т = 1000 К. [340 Дж] 12. Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, lm = 0, 6 мкм. Определить температуру Т тела. [4, 82 кК] 13. Определить максимальную спектральную плотность (rl, T)max энергетической светимости (излучательности), рассчитанную на 1нм в спектре излучения абсолютно черного тела. Температура тела Т = 1 К. [13 Вт/ (м2× нм)'] 14. Определить энергию e, массу m и импульс р фотона с длиной волны l = 1, 24 нм. [1, 60 × 10-16 Дж; 1, 78 .10-33 кг; 5, 35× 10-25 кг м/с] 15. На пластину падает монохроматический свет (l = 0, 42 мкм). Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 0, 95 В. Определить работу А выхода электронов с поверхности пластины. [2 эВ]. 16. На цинковую пластину падает пучок ультрафиолетового излучения (l = 0, 2 мкм). Определить максимальную кинетическую энергию Тmax и максимальную скорость umax фотоэлектронов. [2, 2 эВ; 8, 8 × 105 м/с] 17. Определить максимальную скорость umax фотоэлектрона, вырванного с поверхности металла g - квантом с энергией e = 1, 53 МэВ [2, 91 • 108 м/с] 18. Определить угол J рассеяния фотона, испытавшего соударение со свободным электроном, если изменение длины волны при рассеянии Dl = 3, 63 пм. [120°] 19. Фотон с энергией e1, равной энергии покоя электрона (m0с2), рассеялся на свободном электроне на угол J =120°. Определить энергию e2 рассеянного фотона и кинетическую энергию Т электрона отдачи (в единицах m0с2). [0, 4 m0с2; 0, 6 m0с2] 20. Поток энергии, излучаемой электрической лампой, Фе = 600 Вт. На расстоянии r = 1 м от лампы перпендикулярно падающим лучам расположено круглое плоское зеркальце диаметром d = 2 см. Определить силу F светового давления на зеркальце. Лампу рассматривать как точечный изотропный излучатель. [0, 1 нН] 21. Параллельный пучок монохроматического света с длиной волны l = 0, 663 мкм падает на зачерненную поверхность и производит на нее давление р = 0, 3 мкПа. Определить концентрацию n фотонов в световом пучке. [1012 м -3]
Контрольная работа 5. Таблицы вариантов для специальностей, учебными планами которых предусмотрено по курсу физики шесть контрольных работ
531. Частица движется со скоростью υ = с /3, где с — скорость света в вакууме. Какую долю энергии покоя составляет кинетическая энергия частицы? 532. Протон с кинетической энергией Т = 3 ГэВ при торможении потерял треть этой энергии. Определить, во сколько раз изменился релятивистский импульс α -частицы. 533. При какой скорости β (в долях скорости света) релятивистская масса любой частицы вещества в n = 3 раза больше массы покоя? 534. Определить отношение релятивистского импульса p -электрона с кинетической энергией Т = 1, 53 МэВ.к комптоновскому импульсу m 0cэлектрона. 535. Скорость электрона υ = 0, 8 с (где с — скорость света в вакууме). Зная энергию покоя электрона в МэВ, определить в тех же единицах кинетическую энергию Т электрона. 536. Протон имеет импульс р = 469 МэВ/с ( 537. Во сколько раз релятивистская масса m электрона, обладающего кинетической энергией Т = 1, 53 МэВ, больше массы покоя m о? 538. Какую скорость β (в долях скорости света) нужно сообщить частице, чтобы ее кинетическая энергия была равна удвоенной энергии покоя? 539. Релятивистский электрон имел импульс р 1= m 0c. Определить конечный импульс этого электрона (в единицах m0с), если его энергия увеличилась в n = 2 раза. 540. Релятивистский протон обладал кинетической энергией, равной энергии покоя. Определить, во сколько раз возрастет его кинетическая энергия, если его импульс увеличится в п = 2 раза. 541. Вычислить истинную температуру Т вольфрамовой раскаленной ленты, если радиационный пирометр показывает температуру Tрад = 2, 5 кК. Принять, что поглощательная способность для вольфрама не зависит от частоты излучения и равна α = 0, 35. 542. Черное тело имеет температуру T1 = 500 К. Какова будет температура T2 тела, если в результате нагревания поток излучения увеличится в п = 5 раз? 543. Температура абсолютно черного тела Т = 2 кК. Определить длину волны λ т, на которую приходится максимум энергии излучения, и спектральную плотность энергетической светимости (излучательности) (r λ, T) m ахдля этой длины волны. 544. Определить температуру Т и энергетическую светимость (излучательность) Re абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения приходится на длину волны λ т = 600 нм. 545. Из смотрового окошечка печи излучается поток Фе = 4 кДж/мин. Определить температуру Т печи, если площадь окошечка S = 8 см2. 546. Поток излучения абсолютно черного тела Фе = 10 кВт. Максимум энергии излучения приходится на длину волны λ m = 0, 8 мкм. Определить площадь S излучающей поверхности. 547. Как и во сколько раз изменится поток излучения абсолютно черного тела, если максимум энергии излучения переместится с красной границы видимого спектра (λ m 1= 780 нм) на фиолетовую (λ m 2 = 390 нм)? 548. Определить поглощательную способность ат серого тела, для которого температура, измеренная радиационным пирометром, TРад = 1, 4 кК, тогда как истинная температура Т тела равна 3, 2 кК. 549. Муфельная печь, потребляющая мощность Р = 1 кВт, имеет отверстие площадью S = 100 см2. Определить долю η мощности, рассеиваемой стенками печи, если температура ее внутренней поверхности равна 1 кК. 550. Средняя энергетическая светимость R поверхности Земли равна 0, 54 Дж/(см2- мин). Какова должна быть температура Т поверхности Земли, если условно считать, что она излучает как серое тело с коэффициентом черноты aT = 0, 25? 551. Красная граница фотоэффекта для цинка λ о = 310 нм. Определить максимальную кинетическую энергию T m ах фотоэлектронов в электрон-вольтах, если на цинк падает свет с длиной волны λ = 200 нм. 552. На поверхность калия падает свет с длиной волны λ = 150 нм. Определить максимальную кинетическую энергию T m ах фотоэлектронов. 553. Фотон с энергией ε = 10 эВ падает на серебряную пластину и вызывает фотоэффект. Определить импульс р, полученный пластиной, если принять, что направления движения фотона и фотоэлектрона лежат на одной прямой, перпендикулярной поверхности пластин. 554. На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны λ = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов Umin, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок. 555. Какова должна быть длина волны γ -излучения, падающего на платиновую пластину, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была υ m aх =3 Мм/с? 556. На металлическую пластину направлен пучок ультрафиолетового излучения (λ. = 0, 25 мкм). Фототок прекращается при минимальной задерживающей разности потенциалов Umin = 0, 96 В. Определить работу выхода А электронов из металла. 557. На поверхность металла падает монохроматический свет с длиной волны λ = 0, 1 мкм. Красная граница фотоэффекта λ о = 0, 3 мкм. Какая доля энергии фотона расходуется на сообщение электрону кинетической энергии? 558. На металл падает рентгеновское излучение с длиной волны λ = 1 нм. Пренебрегая работой выхода, определить максимальную скорость υ m ах фотоэлектронов. 559. На металлическую пластину направлен монохроматический пучок света с частотой v = 7, 3. 1014 Гц. Красная граница λ о фотоэффекта для данного материала равна 560 нм. Определить максимальную скорость υ m a x фотоэлектронов. 560. На цинковую пластину направлен монохроматический пучок света. Фототок прекращается при задерживающей разности потенциалов U = 1, 5 В. Определить чину волны к света, падающего на пластину. 561. Фотон при эффекте Комптона на свободном электроне был рассеян на угол θ = я/2. Определить импульс р (в МэВ/с), приобретенный электроном, если энергия фотона до рассеяния была ε 1 = 1, 02 МэВ. 562. Рентгеновское излучение (λ = 1 нм) рассеивается электронами, которые можно считать практически свободными. Определить максимальную длину волны λ m ах рентгеновского излучения в рассеянном пучке. 563. Какая доля энергии фотона приходится при эффекте Комптона на электрон отдачи, если рассеяние фотона происходит на угол θ = я/2? Энергия фотона до рассеяния ε 1 = 0, 51 МэВ. 564. Определить максимальное изменение длины волны (Δ λ.) m a x при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах. 565. Фотон с длиной волны λ 1= 15 пм рассеялся на свободном электроне. Длина волны рассеянного фотона λ 2 = 16 пм. Определить угол θ рассеяния. 566. Фотон с энергией ε 1 = 0, 51 МэВ был рассеян при эффекте Комптона на свободном электроне на угол θ = 180°. Определить кинетическую энергию Т электрона отдачи. 567. В результате эффекта Комптона фотон с энергией ε 1 = 1, 02 МэВ рассеян на свободных электронах на угол θ = 150°. Определить энергию ε 2 рассеянного фотона. 568. Определить угол θ, на который был рассеян квант с энергией ε 1 = 1, 53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи Т = 0, 51 МэВ. 569. Фотон с энергией ε 1= 0, 51 МэВ при рассеянии на свободном электроне потерял половину своей энергии. Определить угол рассеяния θ. 570. Определить импульс ре электрона отдачи, если фотон с энергией ε 1 = 1, 53 МэВ в результате рассеяния на свободном электроне потерял '/з своей энергии. 571. Определить энергетическую освещенность (облученность) Ее зеркальной поверхности, если давление р, производимое излучением, равно 40 мкПа. Излучение падает нормально к поверхности. 572. Давление р света с длиной волны λ = 40 нм, падающего нормально на черную поверхность, равно 2 нПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 с на площадь S = 1 мм2 этой поверхности. 573. Определить коэффициент отражения ρ поверхности, если при энергетической освещенности Ее = = 120 Вт/м2 давление р света на нее оказалось равным 0, 5 мкПа. 574. Давление света, производимое на зеркальную поверхность, р = 5 мПа. Определить концентрацию п0 фотонов вблизи поверхности, если длина волны света, падающего на поверхность, λ = 0, 5 мкм. 575. На расстоянии r = 5 м от точечного монохроматического (λ = 0, 5 мкм) изотропного источника расположена площадка (S = 8 мм2) перпендикулярно падающим пучкам. Определить число N фотонов, ежесекундно падающих на площадку. Мощность излучения Р = 100 Вт. 576. На зеркальную поверхность под углом α = 60° к нормали падает пучок монохроматического света (λ =590 нм). Плотность потока энергии светового Пучка φ = 1 кВт/м2. Определить давление р, производимое светом на зеркальную поверхность. 577. Свет падает нормально на зеркальную поверхность, находящуюся на расстоянии r = 10 см от точечного изотропного излучателя. При какой мощности Р излучателя давление р на зеркальную поверхность будет равным 1 мПа? 578. Свет с длиной волны λ = 600 нм нормально падает на зеркальную поверхность и производит на нее давление р = 4 мкПа. Определить число N фотонов, падающих за время t = 10 с на площадь S =1 мм2 этой поверхности. 579. На зеркальную поверхность площадью S = 6 см2 падает нормально поток излучения Фс = 0, 8 Вт. Определить давление р и силу давления F света на эту поверхность. 580. Точечный источник монохроматического (λ = 1 нм) излучения находится в центре сферической зачерненной колбы радиусом R = 10 см. Определить световое давление р, производимое на внутреннюю поверхность колбы, если мощность источника Р = 1 кВт.
|