![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй
Пример 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить энергию испущенного при этом фотона. Решение. Для определения энергии фотона воспользуемся сериальной формулой для водородоподобных ионов: где λ — длина волны фотона; R — постоянная Ридберга; Z — заряд ядра в относительных единицах (при Z = l формула переходит в сериальную формулу для водорода); n 1— номер орбиты, на которую перешел электрон; n 2 — номер орбиты, с которой перешел электрон (n 1 и п. 2— главные квантовые числа). Энергия фотона е выражается формулой Поэтому, умножив обе части равенства (1) на he, получим выражение для энергии фотона: Так как Rhc есть энергия ионизации Ei, атома водорода, то Вычисления выполним во внесистемных единицах: Ei = 13, 6 эВ (см. табл. 1 Приложения); Z = 1; n 1 = 2; n 2 = 4: Пример 2. Электрон, начальной скоростью которого можно пренебречь, прошел ускоряющую разность потенциалов U. Найти длину волны де Бройля электрона для двух случаев: 1) U 1 = 51 В; 2) U 2 = 510 кВ. Решение. Длина волны де Бройля для частицы зависит от ее импульса р и определяется формулой где h — постоянная Планка. Импульс частицы можно определить, если известна ее кинетическая энергия T. Связь импульса с кинетической энергией различна для нерелятивистского случая (когда кинетическая энергия частицы много меньше ее энергии покоя) и для релятивистского случая (когда кинетическая энергия сравнима с энергией покоя частицы). В нерелятивистском случае где m о — масса покоя частицы. В релятивистском случае где E0 = m 0с2 — энергия покоя частицы. Формула (1) с учетом соотношений (2) и (3) запишется: в нерелятивистском случае в релятивистском случае Сравним кинетические энергии электрона, прошедшего заданные в условии задачи разности потенциалов U 1 = 51 В и U 2 = 510кВ, с энергией покоя электрона и в зависимости от этого решим, какую из формул (4) или (5) следует применить для вычисления длины волны де Бройля. Как известно, кинетическая энергия электрона, прошедшего ускоряющую разность потенциалов U, В первом случае T 1 = eU = 5 l эВ = 0, 51.10-4 МэВ, что много меньше энергии покоя электрона E о = m оc2 = = 0, 51 МэВ. Следовательно, в этом случае можно применить формулу (4). Для упрощения расчетов заметим, что T 1 = 10-4 m oc2. Подставив это выражение в формулу (4), перепишем ее в виде Учитывая, что h/m 0 c есть комптоновская длина волны Λ, получаем Так как Λ = 2, 43пм (см. табл. 1 Приложения), то Во втором случае кинетическая энергия T2=е U 2 = = 510 кэВ = 0, 51 МэВ, т.е. равна энергии покоя электрона. В этом случае необходимо применить релятивистскую формулу (5). Учитывая, что T2 = 0, 51 МэВ = = m оc2, по формуле (5) находим или Подставим значение Λ и произведем вычисления: Пример 3. Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка T = 10эВ. Используя соотношение неопределенностей, оценить минимальные линейные размеры атома. Решение. Соотношение неопределенностей для координаты и импульса имеет вид где Δ х — неопределенность координаты частицы (в данном случае электрона); Δ рх — неопределенность импульса частицы (электрона); ħ — постоянная Планка. Из соотношения неопределенностей следует, что чем точнее определяется положение частицы в пространстве, тем более неопределенным становится импульс, а, следовательно, и энергия частицы. Пусть атом имеет линейные размеры /, тогда электрон атома будет находиться где-то в пределах области с неопределенностью Соотношение неопределенностей (1) можно записать в этом случае в виде откуда Физически разумная неопределенность импульса Δ рх во всяком случае не должна превышать значения самого импульса рх, т. е. Δ рх≤.рх. Импульс рх с вязан с кинетической энергией Т со отношением рх = Проверим, дает ли полученная формула единицу длины. Для этого в правую часть формулы (3) вместо символов величин подставим обозначения их единиц: Найденная единица является единицей длины. Произведем вычисления: Пример 4. Волновая функция
Решение. Вероятность того, что частица будет обнаружена в интервале dx (от х до х + dх), пропорциональна этому интервалу и квадрату модуля волновой функции, описывающей данное состояние, равна В первом случае искомая вероятность найдется интегрированием в пределах от 0 до 0, 01 l (рис. 64): Знак модуля опущен, так как ψ — функция в данном случае не является комплексной. Так как х изменяется в интервале 0≤ х≤.0, 01 l и, следовательно, π x / l< <.l, справедливо приближенное равенство С учетом этого выражения (1) примет вид После интегрирования получим Во втором случае можно обойтись без интегрирования, так как квадрат модуля волновой функции вблизи ее максимума в заданном малом интервале (Δ l = 0, 01 l) практически не изменяется. Искомая вероятность во втором случае определяется выражением
Пример 5. Вычислить дефект массы и энергию связи ядра Решение. Масса ядра всегда меньше суммы масс свободных (находящихся вне ядра) протонов и нейтронов, из которых ядро образовалось. Дефект массы ядра Δ m и есть разность между суммой масс свободных нуклонов (протонов и нейтронов) и массой ядра, т. е.
где Z — атомный номер (число протонов в ядре); A - массовое число (число нуклонов, составляющих ядро, т 1, т 2, m я — соответственно массы протона, нейтрона и ядра. В справочных таблицах всегда даются массы нейтральных атомов, но не ядер, поэтому формулу (1) целесообразно преобразовать так, чтобы в нее входила масса т анейтрального атома. Можно считать, что масса нейтрального атома равна сумме масс ядра и электронов, составляющих электронную оболочку атома: m а= m я + Zme, откуда
Выразив в равенстве (1) массу ядра по формуле (2), получим Δ m = Zmp + (A —Z)mn — m a + Zm e, или Замечая, что m р+ m е = тн, где m н — масса водорода, окончательно находим
Подставив в выражение (3) числовые значения (см. табл. 15 и 17 Приложения), получим В соответствии с законом пропорциональности и энергии E = c2Δ m, (4) где с — скорость света в вакууме. Коэффициент пропорциональности с2 может бы выражен двояко: Если вычислить энергию связи, пользуясь внесистемными единицами, то с2 = 931 МэВ/а. е. м. С учетом этого формула (4) примет вид E = 931 Δ m, МэВ (5) Подставив найденное значение дефекта массы ядра в формулу (5), получим Примечание. Термин «дефект массы» часто применяют в другом смысле: дефектом массы Δ называют разность между массой нейтрального атома данного изотопа и его массовым числом А:: Δ = m а — А. Эта величина особого физического смысла не имеет, но ее использование позволяет в ряде случаев значительно упростить вычисления. В настоящем пособии всюду имеется в виду дефект массы Δ m, определяемый формулой (1). Пример 6. При соударении α -частицы с ядром бора Решение. Обозначим неизвестное ядро символом Применив закон сохранения числа нуклонов, получим уравнение 4+10= 1+ A, откуда A=13. Применив закон сохранения заряда, получим уравнение 2 + 5 = 1+ Z, откуда Z = 6. Следовательно, неизвестное ядро является ядром атома изотопа углерода Теперь можем записать реакцию в окончательном виде: Энергетический эффект Q ядерной реакции определяется по формуле Здесь в первых круглых скобках указаны массы исходных ядер, во вторых скобках — массы ядер — продуктов реакции. При числовых подсчетах по этой формуле массы ядер заменяют массами нейтральных атомов. Возможность такой замены вытекает из следующих соображений. Число электронов в электронной оболочке нейтрального атома равно его зарядовому числу Z. Сумма зарядовых чисел исходных ядер равна сумме зарядовых чисел ядер — продуктов реакции. Следовательно, электронные оболочки ядер гелия и бора содержат вместе столько же электронов, сколько их содержат электронные оболочки ядер углерода и водорода. Очевидно, что при вычитании суммы масс нейтральных атомов углерода и водорода из суммы масс атомов гелия и бора массы электронов выпадут и мы получим тот же результат, как если бы брали массы ядер. Подставив массы атомов (см. табл. 15 Приложения) в расчетную формулу, получим Пример 7. Определить начальную активность A о радиоактивного препарата магния 27 Mg массой т = 0, 2 мкг, а также его активность А через время t =6ч. Период полураспада T1/2 магния считать известным. Решение. Активность А изотопа характеризует скорость радиоактивного распада и определяется отношением числа dN ядер, распавшихся за интервал времени dt, к этому интервалу. Знак «— » показывает, что число N радиоактивных ядер с течением времени убывает. Для того чтобы найти dN/dt, воспользуемся законом радиоактивного распада: где N — число радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, в момент времени t; No — число радиоактивных ядер в момент времени, принятый за начальный (t=0); λ — постоянная радиоактивного распада. Продифференцируем выражение (2) по времени: Исключив из формул (1) и (3) dN /dt, находим активность препарата в момент времени t: Начальную активность А0 препарата получим при t =0: Постоянная радиоактивного распада λ, связана с периодом полураспада T 1/2соотношением Число N o радиоактивных ядер, содержащихся в изотопе, равно произведению постоянной Авогадро Na на количество вещества v данного изотопа: где т — масса изотопа; М — молярная масса. С учетом выражений (6) и (7) формулы (5) и (4) принимают вид Произведем вычисления, учитывая, что T 1/2= 10 мин = 600 с (см. табл. 16 Приложения), 1п2 = 0, 693, t = 6ч = 6.3, 6.103с = 2, 16.104с: Пример 8. Используя квантовую теорию теплоемкости Эйнштейна, вычислить удельную теплоемкость с при постоянном объеме алюминия при температуре T = 200 К. Характеристическую температуру θ E Эйнштейна принять для алюминия равной 300 К. Решение. Удельная теплоемкость с вещества может быть выражена через молярную теплоемкость Ст соотношением где М — молярная масса. Молярная теплоемкость при постоянном объеме по теории Эйнштейна выражается формулой Подставив в (1) выражение теплоемкости Ст по формуле (2), получим Произведем вычисления: Пример 9. Определить теплоту Δ Q, необходимую для нагревания кристалла N aC l массой m = 20 г от температуры T 1 = 2 K. до температуры T 2 = 4К. Характеристическую температуру Дебая θ D для N aC l принять равной 320 К. и условие T < < θ D считать выполненным. Решение. Теплота Δ Q, подводимая для нагревания тела от температуры T 1 до T 2, может быть вычислена по формуле где Ст — теплоемкость тела. Теплоемкость тела связана с молярной теплоемкостью соотношением где m — масса тела; М — молярная масса. Подставив выражение Ст в формулу (1), получим В общем случае теплоемкость Ст есть сложная функция температуры, поэтому выносить ее за знак интеграла нельзя. Однако если выполнено условие T < < θ D, то нахождение Δ Q облегчается тем, что можно воспользоваться предельным законом Дебая, в согласии с которым теплоемкость пропорциональна кубу термодинамической температуры: Подставляя молярную теплоемкость (4) в формулу (3), получим Выполним интегрирование:
Переписав полученную формулу в виде произведем вычисления: Пример 10. Вычислить максимальную энергию ε F (энергию Ферми), которую могут иметь свободные электроны в металле (медь) при температуре T = 0К Принять, что на каждый атом меди приходится по одному валентному электрону. Решение. Максимальная энергия ε f, которую могут иметь электроны в металле при T = 0К, связана с концентрацией свободных электронов соотношением где ħ — постоянная Планка; т — масса электрона. Концентрация свободных электронов по условию задачи равна концентрации атомов, которая может быть найдена по формуле где ρ — плотность меди; NA — постоянная • Авогадро; М — молярная масса. Подставляя выражение п в формулу (1), получаем Произведем вычисления: Пример 11. Кремниевый образец нагревают от температуры t 1 = 0°C до температуры t 2 = 10°С. Во сколько раз возрастает его удельная проводимость? Решение. Удельная проводимость у собственных полупроводников связана с температурой Т соотношением Следовательно, Полагая для кремния Δ E =1, 1 эВ, произведем вычисления:
|