У. Спростіть вираз , користуючись формулами для обчислення числа розміщень, перестановок чи комбінацій.

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Використаємо формули для обчислення числа розміщень і перестановок: А_n^k=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)=n! /(n-k)! чи та Р_n=n! =1•2•3•...•n. Отже, маємо: . Скоротивши чисельник і знаменник дробу на спільні множники та виконавши перетворення у знаменнику, одержимо: .

УІ. Розв’язати рівняння .

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

Для спрощення рівняння використаємо властивість комбінацій: якщо 0< k≤ n, то С_n^k=С_n^n-k. Отже, маємо: . Рівняння набуває вигляду: . Область допустимих значень змінної «у» даного рівняння визначається системою:

y+1> 5 y> 4

Þ Þ y> 4, отже, ує(4; +∞).

y+1> 3 y> 2

Застосовуючи формули: і маємо: , Після спрощень, отримуємо: (у+1)у(у-1)(у-2)(у-3)=56(у+1)у(у-1). (у+1)у(у-1)(у-2)(у-3)-56(у+1)у(у-1)=0. Виносячи спільні множники за дужки, маємо: (у+1)у(у-1)((у-2)(у-3)-56)=0.Звідси маємо: у₁=-1, у₂=0, у₃=1. Ці корені не задовольняють рівняння, бо не належать області допустимих значень. Щоб знайти решта коренів, розв’яжемо рівняння: (у-2)(у-3)-56=0. у²-5у+6-56=0 Þ у²-5у-50=0. За теоремою Вієта маємо: у₄=-5, у₅=10. Оскільки у₄ не належить множині допустимих значень, то дане рівняння має лише один корінь у₅=10.

УІІ. Розв’яжіть задачу: а) «Скільки різних слів можна дістати, переставляючи букви у слові стіл?»; б) «Скільки різних слів можна дістати, переставляючи букви у слові університет?»; в) «Скільки чотирицифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 2, 4, 6, 8, 9, якщо цифри у записі числа не повторюються?»; г) «Скільки чотирицифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 2, 4, 6, 8, якщо цифри у записі числа повторюються?»; д) «Скільки чотирицифрових чисел можна записати, використовуючи цифри 0, 4, 6, 8, якщо цифри у записі числа повторюються?»; е) «Необхідно укомплектувати екіпаж космічного корабля, який складається із трьох пілотів, двох бортінженерів і лікаря. Пілоти мають бути обраними із 24 претендентів, бортінженери - із 20 кандидатів, а лікар – із 10 медиків. Скількома способами можна укомплектувати космічний корабель?».

РОЗВ ’ ЯЗАННЯ:

а) У слові «стіл» всі букви різні, а нові слова можна отримувати, переставляючи ці 4 букви. Отже, ми маємо справу із чотирьохелементною множиною, із елементів якої потрібно утворювати впорядковані четвірки. Таким чином, ми маємо справу із перестановками без повторень, тобто слід обчислити число перестановок із 4 елементів. Використаємо формулу: , де m=4. Отже, . Таким чином, переставляючи букви у слові «стіл», можна дістати 24 слова.

б) У слові «університет» всього 11 букв, серед яких буква «т» повторюється двічі. Отже, ми маємо справу із перестановками з повтореннями . Для обчислення числа таких перестановок, використаємо формулу Pk₁, k_2, k_{3, …}k_n = = . Таким чином, Отже, можна дістати 239500800 слів.

в) У задачі ми маємо справу з пятиелементною множиною { 2, 4, 6, 8, 9 }, із елементів якої слід вибирати чотирьохелементні підмножини, для яких істотним є порядок розміщення елементів, бо при цьому ми отримуватимемо нові числа. Таким чином, ми маємо справу із розміщеннями, які слід утворювати із елементів множини { 2, 4, 6, 8, 9 } по 4 елемента, тобто нам слід обчислити число розміщень із 5 елементів по 4 елемента . Використавши формулу , де m=5, k=4, маємо . Отже, використовуючи цифри 2, 4, 6, 8, 9 можна записати 120 чотирицифрових числа.

г) У задачі ми маємо справу з пятиелементною множиною { 2, 4, 6, 8, 9 }, із елементів якої слід вибирати чотирьохелементні підмножини, для яких істотним є порядок розміщення елементів і елементи, в яких можуть повторюватися. Отже, щоб отримувати нові числа, ми матимемо справу із розміщеннями з повтореннями, які слід утворювати із елементів множини { 2, 4, 6, 8, 9 } по 4 елемента з повтореннями, тобто нам слід обчислити число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 4 елемента . Використавши формулу , де m=5, k=4, маємо . Отже, використовуючи цифри 2, 4, 6, 8, 9 можна записати 625 чотирицифрових числа, в яких цифри можуть повторюватися.

д) У задачі ми маємо справу з пятиелементною множиною {0, 2, 4, 6, 8 }, із елементів якої слід вибирати чотирьохелементні підмножини, для яких істотним є порядок розміщення елементів і елементи, в яких можуть повторюватися. Отже, щоб отримувати нові числа, ми матимемо справу із розміщеннями з повтореннями, які слід утворювати із елементів множини {0, 2, 4, 6, 8 } по 4 елемента з повтореннями, тобто нам слід обчислити число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 4 елемента . Використавши формулу , де m=5, k=4, маємо . Серед одержаних чисел є такі, запис яких розпочинається із цифри нуль і які слід вилучити, бо запис числа не може розпочинатися цифрою нуль. Щоб знайти кількість таких чисел, слід обчислити число розміщень з повтореннями із 5 елементів по 3 елемента, тобто . Отже, число чотирицифрових чисел, які можна дістати за допомогою цифр 0, 2, 4, 6, 8 і в яких цифри можуть повторюватися, але їх запис не розпочинається із цифри нуль, дорівнює різниці між і , тобто 625-125=500 чисел. Отже, використовуючи цифри 0, 2, 4, 6, 8, можна записати 500 чотирицифрових числа, в яких цифри можуть повторюватися і які не розпочинаються цифрою нуль.

е) Для обрання пілотів корабля ми повинні із 24-елементної множини вибирати трьохелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, тобто ми матимемо справу із комбінаціями із 24 елементів по 3 елемента, число яких дорівнює .

Для обрання бортінженерів ми повинні із 20-елементної множини вибирати двохелементні підмножини, для яких порядок розміщення елементів немає значення, тобто ми матимемо справу із комбінаціями із 20 елементів по 2 елемента, число яких дорівнює .

Число способів вибору лікаря дорівнює 10. Таким чином, відповідно до правила добутку число вибору екіпажу космічного корабля дорівнює добутку .