Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии

Задача 1. Даны векторы и в некотором базисе трехмерного пространства. Показать, что векторы образуют базис данного трехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

1.1. (1; 2; 3), (-1; 3; 2), (7; -3; 5), (6; 10; 17).

1.2. (4; 7; 8), (9; 1; 3), (2; -4; 1), (1; -13; -13).

1.3. (8; 2; 3), (4; 6; 10), (3; -2; 1), (7; 4; 11).

1.4. (10; 3; 1), (1; 4; 2), (3; 9; 2), (19; 30; 7).

1.5. (2; 4; 1), (1; 3; 6), (5; 3; 1), (24; 20; 6).

1.6. (1; 7; 3), (3; 4; 2), (4; 8; 5), (7; 32; 14).

1.7. (1; -2; 3), (4; 7; 2), (6; 4; 2), (14; 18; 6).

1.8. (1; 4; 3), (6; 8; 5), (3; 1; 4), (21; 18; 33).

1.9. (2; 7; 3), (3; 1; 8), (2; -7; 4), (16; 14; 27).

1.10. (7; 2; 1), (4; 3; 5), (3; 4; -2), (2; -5; -13).

Задача 2. Даны векторы . Показать, что векторы образуют базис четырехмерного пространства и найти координаты вектора в этом базисе.

2.1.

2.2.

2.3.

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

2.8.

2.9.

2.10.

Задача 3. Даны вершины треугольника. Найти: 1) длину стороны ; 2) внутренний угол в радианах с точностью до 0, 001; 3) уравнение высоты, проведенной через вершину ; 4) уравнение медианы, проведенной через вершину ; 5) точку пересечения высот треугольника; 6) длину высоты, опущенной из вершины ; 7) систему неравенств, определяющих треугольник . Сделать чертеж.

3.1. .

3.2. .

3.3. .

4.4. .

3.5. .

3.6. .

3.7. .

3.8. .

3.9. .

3.10. .

Задача 4. Даны координаты вершин пирамиды А1А2А3А4. Найти: 1) длину ребра А1А2; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А4; 3) угол между ребром А1А4 и гранью А1А2А3; 4) площадь грани А1А2А3; 5) объем пирамиды; 6) уравнение прямой А1А2; 7) уравнение плоскости А1А2А3; 8) уравнение высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1А2А3. Сделать чертеж.

4.1. А1 (4; 2; 5), А2 (0; 7; 2), А3 (0; 2; 7), А4 (1; 5; 0).

4.2. А1 (4; 4; 10), А2 (4; 10; 2), А3 (2; 8; 4), А4 (9; 6; 4).

4.3. А1 (4; 6; 5), А2 (6; 9; 4), А3 (2; 10; 10), А4 (7; 5; 9).

4.4. А1 (3; 5; 4), А2 (8; 7; 4), А3 (5; 10; 4), А4 (4; 7; 8).

4.5. А1 (10; 6; 6), А2 (-2; 8; 2), А3 (6; 8; 9), А4 (7; 10; 3).

4.6. А1 (1; 8; 2), А2 (5; 2; 6), А3 (5; 7; 4), А4 (4; 10; 9).

4.7. А1 (6; 6; 5), А2 (4; 9; 5), А3 (4; 6; 11), А4 (6; 9; 3).

4.8. А1 (7; 2; 2), А2 (5; 7; 7), А3 (5; 3; 1), А4 (2; 3; 7).

4.9. А1 (8; 6; 4), А2 (10; 5; 5), А3 (5; 6; 8), А4 (8; 10; 7).

4.10. А1 (7; 7; 3), А2 (6; 5; 8), А3 (3; 5; 8), А4 (8; 4; 1).