Тема 3.2. Эллипс

Литература: [1], гл. 6, § 2–4, стр. 119–129; [7], гл. 4, § 27, стр. 91–95.

Основные определения, теоремы и формулы

Если оси прямоугольной декартовой системы координат выбраны так, как показано на рисунке 26, то в этой системе координат уравнение эллипса имеет вид: , где – большая, – малая полуоси эллипса. Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса. Фокальные радиусы r ₁= F ₁ M и r ₂= F ₂ M точки М (х, y) эллипса вычисляются по формулам: r ₁= a + x, r ₂= a – x, где с = F ₁ F ₂. Числа , и c в рассматриваемом случае связаны соотношением: .

Число = , т. е. отношение расстояния между фокусами к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса.

Уравнения: (0 ) являются параметрическими уравнениями эллипса, где t – величина угла между осью ОХ и прямой ОМ, соединяющей центр эллипса с его точкой.

Если фокусы эллипса расположены на оси ОY, то вид уравнения эллипса не меняется, но в этом случае > и с = . Эксцентриситет такого эллипса вычисляется по формуле: = .

Примеры решенных задач

Пример 1. Дано уравнение эллипса 25 x ²+169 y ²=4225. Вычислить длину его полуосей, найти координаты фокусов, эксцентриситет. Найти фокальные радиусы точки М ()и точки эллипса, расстояние которых до левого фокуса F ₁ равно 14.

Решение: Разделив обе части данного уравнения на 4225, получим каноническое уравнение эллипса =1, откуда =169, b ²=25. Значит, длины полуосей равны соответственно =13, b =5. Тогда с = =12 и F ₁(0, –12), F ₂(0, 12). Эксцентриситет эллипса: = .

Точка М () лежит на эллипсе. По известным формулам найдем ее фокальные радиусы:

r ₁=13+22 , r ₂=13– =13– .

Так как расстояние от искомой точки до левого фокуса равно 14, то ее абсциссу можно найти из уравнения:

14=13+ x, x = .

Подставляя найденные значения x в уравнение эллипса, найдем ординаты точек:

y = =

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две точки, имеющие следующие координаты:

() и ().

Пример 2. Написать уравнение касательной к эллипсу , параллельной прямой .

Решение: Искомая касательная параллельна данной прямой, следовательно, ее уравнение имеет вид . Определим С из условия касания прямой эллипса.

Прямая касается эллипса, если она пересекает ее в двух совпавших точках.

Общие точки прямой и эллипса найдем из системы уравнений:

Из первого уравнения . Подставляя найденное выражение во второе уравнение системы, получим квадратное уравнение относительно :

.

Это уравнение имеет равные корни тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю, то есть.

.

Следовательно, условию задачи удовлетворяют две касательные: .

Задачи

1. Цилиндр, поперечное сечение которого есть круг радиуса 10, пересечен плоскостью, образующей с осью цилиндра угол . Найдите величину полуосей эллипса, получающегося в сечении.

2. Вершина треугольника, имеющего неподвижное основание, перемещается так, периметр постоянен. Найдите траекторию движения вершины при условии, что основание треугольника равно 24, а периметр равен 50.

3. Наименьшее расстояние от Земли до Солнца равно приблизительно 147500000 км, а наибольшее 152500000 км. Найти большую полуось и эксцентриситет орбиты Земли.

4. На прямой l, уравнение которой в репере : , найти точку, сумма расстояний от которой до точек А (–3, 0) и В (5, 0) равна 10.

5. Как расположены относительно эллипса точки A (7, 6), B (5, –4), C (–4, 5)?

6. Вывести условие, при котором прямая касается эллипса

7. Доказать, что произведение расстояний от фокусов до любой касательной к эллипсу равно квадрату малой полуоси.

8. Доказать оптическое свойство эллипса: всякая касательная к эллипсу образует равные углы с фокальными радиусами точки прикосновения.

9. На чертеже изображен эллипс. Пользуясь циркулем и линейкой, построить его центр.