Графический способ состоит в том, что соответствие между аргументом и ф-ией устанавливается с помощью графика.

-Опр. Пусть ф-ия у=f(x) интегрируема на [a, b], тогда ф-ия Φ (x)= Sf(t) dt где x ε [a, b], наз-ся интегралом с переменным верхним пределом.

Теор. Если ф-ия f(x) непрерывна на [a, b], то интеграл с переменным верхним пределом Ф(x) будет дифференцируемой ф-ей на [a, b] причем Ф’(x)=(Sf(t) dt=f(x)) ұ x ε [a, b]

Следствие: интеграл с переменным верхним пределом Ф(х)= Sf(t) dt является первообразной ф-ей для ф-ии f(x) на [a, b].

Билет №8

1)Основные свойства функции(чётная, нечётная, период)

2)Формула Ньютона Лейбница и замены переменной в определённом интеграле(теорема)

-Ф-ия y=f(x) наз-ся четной, если f(x)=f(-x) для л х D(f), нечетной, если f(-x)=- f(x) для л х D(f). Ф-ия y=f(x) наз-ся периодической с периодом Т≠ 0, если f(x+t)=f(x). Ф-ия y=f(x) наз-ся возрастающей(убывающей) на пром-ке Х, если на этом пр-ке большему значению аргументу соответствует большее(м) значение ф-ии. Ф-ии, возрастающие и убывающие наз-ся монотонными ф-ми. Ф-ия y=f(x) наз-ся ограниченной на пр Х, если сущ число М> 0: |f(x)|≤ M для л х Х. -(Формула Ньютона-Лейбница) Если ф-ия f(x) непрерывна на [a, b], а ф-ия F(x) есть любая первообразная для ф-ии f(x) на этом отрезке, то справедлива формула Sf(x)dx=F(b)-F(a). Пусть: 1. ф-ия f(x) непрерывна на [a, b]. 2. ф-ия x=φ (t) непрерывно-диффер на [α, β ]. 3. φ (α)=a, φ (β)=b. Тогда справедлива формула Sf(x)dx= Sf[φ (t)]φ ’(t)dt

Билет №9

Классификация функции

Методы Симпсона

- Классификация ф-ий.

Опр12. Ф-ия y=f(x) наз-ся явной, если она задана формулой, в кот правая часть не содержит зависимой переменной.

Опр13. Ф-ия у от аргумента х наз-ся неявной, если она задана ур-ем F(x, y)=0 не разрешенным относительно зависимой переменной.

Опр14. Ф-ия у от аргумента х, заданная посредством цепи из двух ф-ий y=f(u), u=φ (x) наз-ся ф-ей от ф-ии или сложной ф-ей и записывается сл образом y=f[φ (x)]. Переменная u при этом наз-ся промежуточной переменной.

- Суть метода:

1. отрезок [a, b] разбивается на четное число равных частичных отрезков точками a=x0< =x1< =x2< =…< =xn-1< =xn=b n=2m

2. В пределах первых двух отрезков [x0, x1], [x1, x2] ф-ия f(x) заменяется параболой y=ax² +bx+c. При этом коэффициенты a, b и с находятся из системы линейных уравнений:

Ax +bx+c=f(x)

Ax +bx+c=f(x)

Ax +bx+c=f(x)

Аналогичные параболы строятся и для других отрезков.

Сумма площадей параболических трапеций и составляет приближенное значение интеграла, т.е. Sf(x)dx≈ h/3[y+y+4(y+y+…+y)+2(y+y+…+y)]. Формула Симпсона или формула парабол. Здесь: h=b-a/n - шаг разбиения отрезка [a, b], у= f(x) i=1, 2, …, n, x=a+ih i=1, 2, …, n- точки деления отрезка [a, b].

Замечание. Приближенная абсолютная погрешность формул Симпсона, т.е. абсолютная величина разности между точным и приближенным значением интеграла задается неравенством R < =h /180(b-a)max|f (x)|.

Билет №10

Понятие предела в точке, геометрический смысл