Пример выполнения задания 2

Исследование функций с

Помощью производных

Задание 1

Исследовать функцию на экстремум с помощью производной первого порядка, найти интервалы монотонности функции.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

31. 32.

33. 34.

Пример выполнения задания 1

Исследовать функцию на экстремум с помощью производной первого порядка, найти интервалы монотонности функции.

Решение. Вычислим производную от заданной функции и приравняем ее к нулю: . Найдем точки, в которых производная равна нулю или не существует

,

.

Исследуем знак производной:

.

Ответ: .

На интервале функция непрерывно возрастает, а на промежутке непрерывно убывает.

Задание 2

Убедиться, что – критическая точка функции (см. табл. 2), и исследовать поведение функции в окрестности этой точки с помощи производных высших порядков.

Таблица 2

№ варианта
		– 1
		– 1
		– 2

Продолжение табл. 2

№ варианта
		– 1
		– 1
		– 1
		– 1
		– 2
		– 1
		– 2
		– 1

Окончание табл. 2

№ варианта
		– 1

Пример выполнения задания 2

Убедиться, что – критическая точка функции , и исследовать поведение функции в окрестности этой точки с помощи производных высших порядков.

Решение. Вычислим :

при ,

, т.е. является критической точкой.

Вычислим : , при , .

Вычислим : , при , .

Так как порядок этой производной является нечетным числом и сама производная отлична от нуля, то в экстремума нет.

Вторая производная тоже не меняет знак относительно , следовательно, это критическая точка.