Определение устойчивости системы по логарифмическим частотным характеристикам

Запишем передаточную функцию разомкнутой системы в виде

. (1.23)

Найдем декремент затухания для звена по формуле

. (1.24)

Подставив численные значения, получим . Заметим, что , следовательно, звено колебательное. Кроме того , следовательно, можно строить асимптотическую ЛАЧХ не уточняя ее значение в области сопрягающей частоты.

Определим частоты сопряжения по формуле

, (1.25)

где , постоянная времени интегрирования i-го звена.

Тогда, применив формулу для нахождения частот, получим

, (1.26)

подставив, численные значения, найдем .

Так как данная система не содержит ни интегрирующих, ни дифференцирующих звеньев, то она является статической. Рассчитаем ординату для низкочастотной асимптоты согласно формуле для статических систем

, (1.27)

подставив численное значение , получим .

При построении ЛАЧХ звену будет соответствовать наклон , на сопрягающей частоте , а звену наклон , на сопрягающей частоте .

Рассчитаем параметры для построения ЛФЧХ разомкнутой системы, путем суммирования ЛФЧХ всех звеньев.

Значения углов вычисляются в диапазоне частот от минимальной частоты, соответствующей началу координат до частоты, при которой фазовый сдвиг превышает (–180^º )

Для звена ЛФЧХ будет вычисляться по формуле

. (1.28)

Для звена ЛФЧХ при

. (1.29)

А при будет вычисляться по формуле

. (1.30)

Значения результирующей ЛФЧХ найдем как

(1.31)

Подставив численные значения в вышеприведенные формулы, рассчитаем необходимые значения. Результаты вычислений оформим в виде таблицы 3.

Таблица 3 – Расчет ЛФЧХ разомкнутой системы

Частота	Звено 1	Звено 2
0.00	0.00	0.00	0.00	0.00	0.00
2.00	1.88	-61.99	0.13	-8.34	-70.33
4.00	3.76	-75.11	0.27	-17.23	-92.34
6.00	5.64	-79.95	0.40	-27.24	-107.18
8.00	7.52	-82.43	0.53	-38.88	-121.31
10.00	9.40	-83.93	0.67	-52.44	-136.37
12.00	11.28	-84.93	0.80	-67.54	-152.47
14.00	13.16	-85.65	0.94	-82.93	-168.58
20.00	18.80	-86.96	1.34	-118.61	-205.57
30.00	28.20	-87.97	2.00	-144.40	-232.37
40.00	37.60	-88.48	2.67	-154.88	-243.36
50.00	47.00	-88.78	3.34	-160.49	-249.27
60.00	56.40	-88.98	4.01	-164.00	-252.99
70.00	65.80	-89.13	4.68	-166.43	-255.55
80.00	75.20	-89.24	5.35	-168.20	-257.44
90.00	84.60	-89.32	6.01	-169.56	-258.88
100.00	94.00	-89.39	6.68	-170.63	-260.02

Результаты вычислений отобразим на графике логарифмических характеристик разомкнутой системы (рисунок 7).

Рисунок 7 – Логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы

Если разомкнутая система устойчива, для ее устойчивости в замкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы число переходов ЛФЧХ через линию –180° при положительных значениях ЛАЧХ было четным (в частном случае равным нулю).

В данном случае ЛФЧХ совершает один отрицательный переход при положительных значениях ЛАЧХ. Можно сделать вывод о том, что замкнутая система не устойчива.