Основное уравнение фильтрации

Скорость процесса пропорциональна движущей силе(∆ P) и обратно пропорциональна сопротивлению. В общем случае в процессе фильтрования значения разности давлений и гидравлического сопротивления слоя осадка с течением времени изменяются. Переменную скорость фильтрования выражают в дифференциальной форме:

,

где V - объем жидкости, прошедший через поверхность осадка S за время τ.

При описании процесса фильтрации принято общее сопротивление движению жидкости представлять в виде суммы сопротивлений осадка R _ос и фильтрованной перегородки R _фп: R = R _ос+ R _фп.

В общем виде дифференциальное уравнение фильтрации примет вид

.

Гидравлическое сопротивление осадка R _ос в среднем можно считать постоянным, хотя оно нередко меняется по ходу процесса фильтрования из-за засорения пор мелкими частицами, а также некоторого сжатия осадка. Считается, что диапазон изменения пористости вследствие засорения и сжатия осадка при постоянных условиях фильтрации более или менее одинаков. Поэтому целесообразно в ряде случаев оперировать величинами удельных сопротивлений осадков. Значение R _ос с увеличением толщины осадка изменяется от нуля в начале фильтрования до максимального значения в конце процесса.

Объем осадка пропорционален объему пульпы. Если этот коэффициент равен x ₀, а его объем равен V, то высота осадка составляет

.

Удельное и полное сопротивления между собой связаны выражением

.

С учетом этого выражения дифференциальное уравнение фильтрации примет вид

.

При допущении постоянства удельного сопротивления осадка дифференциальное уравнение фильтрации можно проинтегрировать в трех предельных случаях:

1) когда = const;

2) когда = const;

3) когда и = const.

На практике процесс фильтрации, как правило, протекаетпри постоянной разности давлений. В этом случае после интегрирования получим следующее уравнение:

,

или

.

Разделив обе части последнего уравнения на , окончательно получим

.

Поскольку при ∆ P = const величины r ₀ и x ₀ обычно постоянны, то это уравнение применимо для сжимаемых и несжимаемых осадков.

При постоянной скорости фильтрации, т.е. когда скорость подачи пульпы равна скорости фильтрации, дифференциал можно заменить отношением конечных величин и уравнение фильтрации примет вид

,

а учитывая, что = const, можно записать:

.

Из уравнения видно, что для увеличения скорости фильтрации необходимо повысить давление. Это уравнение применимо только к несжимаемым осадкам, так как с ростом давления осадок сжимается и увеличивается его удельное сопротивление r ₀.

Если жидкость фильтруется сквозь осадок постоянной толщины, то ∆ Р = const, W = const и дифференциальное уравнение фильтрации упрощается:

.

Так как H постоянна, то в последнем выражении величина заменяется на H.

Данное уравнение применимо при фильтрации оборотных вод через пористые фильтры. Оно применимо для сжимаемых и несжимаемых осадков, так как ∆ Р = const.