![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Примеры решения задач. Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси ох имеет вид: x = 2 + 15t + 0,4t2 + 6t3
Пример 1. Уравнение движения материальной точки вдоль оси ох имеет вид: x = 2 + 15 t + 0, 4 t2 + 6 t3. Найти: 1) начальную координату и координату точки при t = 2 с; 2) путь, пройденный за 2 с после начала движения; 3)скорость u и ускорение а в момент времени t = 2 с.
Решение: На рис. 1 показаны вектора скорости В данной задаче значения начальной и конечной координат будут равны: х0 = 2 м, хt = 2 с = 2 + 15 ∙ 2 + 0, 4 ∙ 22 + 6 ∙ 23 = 81, 6 м Пройденный путь по условию равен разности значений х0 и хt = 2 с S = хt = 2 с – х0. (1) Подставляем значения и получаем: S = 81, 6 – 2 = 79, 6 м. По определению мгновенная скорость равна первой производной по времени от х u = x' = 15 + 0, 8 t + 18 t2. (2) Мгновенное ускорение – производная от скорости a = u' = 0, 8 + 36 t. (3) В искомой точке в соответствие с (2) и (3) ut = 2 с = 15+ 0, 8 ∙ 2 + 18 ∙ 22 = 88, 6 м/с, аt = 2 с = 0, 8 + 36 ∙ 2 = 72, 8 м/с2.
Ответ: х0 = 2 м; хt = 2 с = 81, 6 м; S = 79, 6 м; ut = 2 с = 8, 86 м/с;
Пример 2. Колесо радиусом R = 50 см вращается равноускоренно с ускорением ε = 1, 26 с-2. Найти: 1) линейную скорость колеса u через
Решение: На рис. 2 изображены векторы, характеризующие вращающееся по часовой стрелке колесо. Направление векторов скорости 1) Из условия равноускоренного вращения находим угловую скорость движения w =w0+ ε t. У нас w0 = 0, поэтому w = ε t. (1) Линейная скорость колеса связана с угловой скоростью u = w R. (2) Подставив (1) в (2), получим u = ε R t. (3) Откуда u = 1, 26∙ 0, 5∙ 20 = 12, 6 м/с. Переводим скорость в км/ч 2) Нормальное (центростремительное) ускорение находим по формуле
Расчёт 3) Тангенциальное (касательное) ускорение at = ε R. (5) Получим числовое значение at = 12, 6∙ 0, 5 = 0, 63 м/с2. Ответ: u = 12, 6 м/с; an = 317, 5 м/с2; at = 0, 63 м/с2.
Пример 3. На гладкой горизонтальной плоскости находится тело массой m1 = 250 г. Тело массой m2 = 400 г подвешено на нити, перекинутой через блок и привязанной к телу m1. Пренебрегая массой блока и трением, определить: 1) силу натяжения нити; 2) ускорения тел; 3) путь, пройденный телами за t = 0, 2 с.
Решение: 1) Изобразим векторы сил, действующих на тела m1 и m2 (рис.3). Здесь Оба тела движутся с одинаковым по величине ускорением, т.к. считаем нить не растяжимой. Сила натяжения по обе стороны блока одинакова, т.к. блок невесом. Запишем второй закон Ньютона в векторной форме для обоих тел:
Выбираем направление осей ох и оy по направлению вектора ускорения
Находим расчётную формулу для ускорения
Числовое значение ускорения Из формулы (2) вычислим значение силы натяжения Fнат = 0, 25∙ 6, 04 = 1, 51 Н. 2) Путь, пройденный за t = 0, 2 с для обоих тел одинаков. Его находим по закону пути равноускоренного движения при u0 = 0:
Таким образом, получаем путь Ответ: Fнат = 1, 51 Н, а = 6, 04 м/с2, S = 12 см.
Пример 4. Человек массой 70 кг поднимается на лифте, движущемся равномерно. Определить силу давления человека на пол кабины. Во сколько раз изменится сила давления, если лифт поднимается с ускорением 1 м/с2?
Решение: 1) На человека, находящегося в движущемся лифте действуют сила тяжести
Проведём ось ОУ в направлении движения лифта и запишем второй закон Ньютона в скалярной форме ma = - mg +N. (2) В данной задаче предложен случай равномерного подъёма, когда N1 = mg. (3) На основании третьего закона Ньютона сила давления человека на опору равна силе реакции опоры
Сила давления (вес тела
Итак, при равномерном подъёме Р1 = 700 Н. 2) Применяем (2) для условия равноускоренного подъёма, когда ma2 = – mg + N2. (5) Откуда N2 = m(g +a2) (6) Вес тела равен Р2 = N2 = m(g +a2). (7) Рассчитываем отношение Ответ: Р1 = 700 Н, вес тела увеличится при подъёме с ускорением в 1, 1 раза.
Пример 5. Геостационарный искусственный спутник Земли " Радуга", запущенный на круговую орбиту 15 февраля 1990 г., " висит" над одной точкой экватора и делает полный оборот вокруг Земли за
Решение: 1) Поскольку на спутник действует только гравитационная сила, то второй закон Ньютона для спутника имеет вид:
Здесь
сила притяжения –
где m – масса спутника, М – масса Земли. Подставляя (2) и (3) в (1), получим:
Отсюда Если бы спутник находился на Земле, формула (1) имела бы вид
Преобразуем (5) GM = g0R2. (6) С учётом (6) выражение (4) принимает вид
Скорость спутника получим из соображений равномерного вращения с периодом Т:
Находим высоту спутника Н над Землей из (7) и (8)
Откуда
Расчёт даёт Н = 35930 км. 2) Для вычисления скорости применим формулу (8) u = 3, 07 км/с. Ускорение спутника равно ускорению силы тяжести на высоте Н Ответ: u = 3, 07 км/с; Н = 35930 км; g = 0, 22 м/с2.
Пример 6. Найти силу F1, приложенную к середине бревна и необходимую, чтобы поднять дерево на ступеньку. Какую силу F2 нужно приложить к бревну в точке А, чтобы закатить его на ступеньку, высотой равной 0, 5 радиуса дерева? Масса дерева 50 кг. Во сколько раз это усилие меньше, если бы бревно приподнять на высоту ступеньки?
Решение: 1) Сила F1 – mg = 0. (1) Откуда F1 = mg. Подставим числовые значения, получим: F1 = 50∙ 10 = 500 Н. 2) Сила Модуль момента силы равен силе, умноженной на плечо силы (плечо – перпендикуляр, опущенный из точки на оси вращения на линию действия силы). Модуль момента силы тяжести относительно точки С равен: M1 = m g l1. (2) По теореме Пифагора находим плечо силы тяжести l1
Модуль момента силы F2 относительно точки С M2 = F2 l2, (4) где плечо силы F2 Таким образом,
На рис. 6б направление вектора Условием перекатывания будет равенство моментов М1 и М2. Запишем это, пользуясь формулами (2), (3), (4) и (4а): m g l1 = F2 l2 или
Откуда После расчёта получаем: F2 = 0, 57∙ 500 = 288, 7 Н. Ответ: F1 = 500 Н; F1 / F2 = 1, 73, т.е. дерево легче закатить на ступеньку, чем поднять на высоту самой ступеньки.
Пример 7. Молотильный барабан вращается с частотой n0 = 20 с-1. Момент инерции барабана I = 30 кг∙ м2. Определить момент силы, под действием которой барабан остановится за время t = 3, 3 мин.
Решение: На рис. 7 указаны направления векторов, соответствующие условиям равнозамедленного вращения тела. Основной закон динамики вращательного движения
где Так как вращение замедленное, оно совершается под действием тормозящей силы Fтр, создающей момент M = Mтр. (2) При торможении под действием постоянного тормозящего момента справедлив закон изменения угловой скорости w = w0 – ε t. (3) В момент остановки w = 0, формула (3) приобретает вид w0 – ε t= 0, откуда w0 = ε t и
Поскольку угловая скорость связана с частотой вращения формулой
то имеем
Из формул (1) и (6) получаем расчётную формулу для момента тормозящей силы
Проводим расчёт искомой величины Ответ: Мтр = 19 Н∙ м.
Пример 8. На спокойной воде пруда стоит лодка длиной L и массой m2 перпендикулярно берегу, обращённая к нему носом. На носу лодки стоит человек массой m1. На какое расстояние S лодка приблизится к берегу, если человек перейдёт с носа на корму лодки (рис. 8).
Решение: Система тел " лодка-человек" является замкнутой (внешние силы: сила тяжести и выталкивающая сила скомпенсированы). Для замкнутой системы тел справедлив закон сохранения импульса. До начала перемещения человека импульс системы равен нулю. При движении человек имеет импульс
а импульс лодки
В системе отсчёта, связанной с берегом скорость лодки
Скорость человека относительно берега
Здесь учтено, что человек движется относительно лодки и вместе с лодкой. Записываем закон сохранения импульса, имея ввиду, что вначале импульс системы равен нулю
Проецируем импульсы
Получаем искомую расчётную формулу
Ответ:
Пример 9. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска, стоит человек массой m2 = 80 кг. Масса платформы m1 = 240 кг, её радиус R = 2 м. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через её центр. Пренебрегая трением, найти с какой частотой будет вращаться платформа, если человек пойдет вдоль её края со скоростью u =1 км/час.
Решение: Применим закон сохранения момента импульса к системе тел " человек-платформа" (система замкнута):
До начала движения человека На рис. 9 показаны вектор скорости движущегося человека При движении человека момент импульса этой системы будет равен
Здесь Момент инерции диска находим по формуле:
Момент импульса человека
Угловую скорость человека относительно оси ОО' получим как разность w2 = (w02 – w1), (5) так как человек движется относительно платформы и вместе с платформой. Здесь – угловая скорость человека относительно платформы Из формул (3), (4), (5) и (6) момент импульса человека равен
Применим закон сохранения момента импульса в данной системе отсчёта, учитывая, что вначале вращения не было
Проецируем противонаправленные I1w1 – I2w2 = 0. С учётом выражений (3) и (7), имеем
Отсюда
В задаче необходимо найти частоту вращения диска n1, которая связана с угловой скоростью w1 формулой w1 = 2 π n1. Расчётная формула выглядит
После подстановки числовых значений получим Ответ: n1 = 0, 53 мин-1.
Пример 10. Молот массой m = 200 кг падает с высотой h = 20 см на поковку, масса которой вместе с наковальней составляет М = 2500 кг. Найти: 1) кинетическую энергию молота в момент удара Wк1; 2) энергию, переданную фундаменту Wк2; 3) энергию, затраченную на деформацию поковки Е д; 4) коэффициент полезного действия удара η.
Решение: 1) По закону сохранения механической энергии потенциальная энергия молота mgh переходит в кинетическую энергию молота в момент удара Wк1 (силами сопротивления пренебрегаем) mgh= Wк1. (1) Подставляя числовые значения, получаем: Wк1 = 200∙ 10∙ 0, 2 = 400 Дж. 2) Для нахождения механической энергии, переданной фундаменту, предварительно определим скорость системы молот с наковальней после удара, считая удар неупругим. Применяем закон сохранения импульса для системы " молот-наковальня" в момент удара
где Проекции импульсов на ось у mu = (m+M)∙ u, откуда
Кинетическая энергия системы после удара Wк2 равна
Получим расчётную формулу для Wк2 из (3) и (4)
Отсюда 3) Энергия, затраченная на деформацию (на ковку) Е д = Wк1 – Wк2. (6) Расчёт Е д = 400 – 29, 6 = 370, 4 Дж. На ковку пошла энергия Е д, которая в условиях задачи полезная. Затраченная энергия равна Wк1. Поэтому коэффициент полезного действия
Соответственно кпд равен Ответ: Wк1 = 400 Дж; Wк2 = 29, 6 Дж; Е д = 370, 4 Дж; η = 93 %.
Пример 11. Шар, катившийся со скоростью u1 = 3 м/с, ударился о стену и покатился назад со скоростью u2 = 2 м/с (рис. 11). Массой шара m = 3 кг. На сколько изменилась кинетическая энергия шара? Какую работу совершил шар при взаимодействии со стеной? Какая часть энергии катящегося шара перешла во внутреннюю энергию стены?
Решение: 1) Кинетическая энергия шара при качении складывается из кинетической энергии поступательного движения
и кинетической энергии вращения
где u – скорость поступательного движения центра масс шара. Момент инерции шара I равен:
а w – угловая скорость вращения. Из формулы связи с линейной скоростью
Получим формулу кинетической энергии катящегося шара, применив (1), (2), (3) и (4)
Кинетическая энергия шара до и после удара соответственно равны:
Изменение кинетической энергии ∆ Wк = Wк2 – Wк1. (6) Подставляем в (6) выражения для Wк1 и Wк2
Вычисляем ∆ Wк = 0, 7∙ 3∙ (22 – 32)= –10, 5 Дж. Знак " –" показывает уменьшение кинетической энергии. 2) При ударе о стену, шар, деформируя стену, совершил работу за счёт своей кинетической энергии А = –∆ Wк. А= +10, 5 Дж. 3) По закону сохранения энергии ∆ Wк перешла во внутреннюю энергию
Ответ: ∆ Wк = –10, 5 Дж; А= +10, 5 Дж;
|