Примеры решения задач. Пример 1. На непроводящей нити в воздухе подвешен шарик массой т = 100 мг, несущий заряд q

Пример 1. На непроводящей нити в воздухе подвешен шарик массой
т = 100 мг, несущий заряд q. Если снизу на расстоянии r = 4 см поместить шарик с таким же зарядом, натяжение нити Т исчезнет. Определить величину заряда шарика.

Дано: m = 100 мг = 10^-4 кг;

r = 4 см = 0, 04 м.

Найти: q.

Решение: Исходя из условия задачи, сила тяжести подвешенного шарика mg уравновешивается силой кулоновского отталкивания шариков F_к.

mg = F_к, (1)

Выразим в соответствии с законом Кулона силу F_к:

, (2)

где ε = 1 – диэлектрическая проницаемость воздуха, k = 9·10⁹ м/Ф – коэффициент пропорциональности в законе Кулона.

Подставив (2) в (1) получим:

(3)

Вычислим искомый заряд: .

Ответ: q = 13 нКл.

Пример 2. Два положительных заряда q₁ = 7 нКл и q₂ = 4 нКл находятся на расстоянии r = 15 см друг от друга. Определите положение точки, в которую нужно поместить заряд q₃, чтобы он находился в равновесии. Каков должен быть знак заряда q₃, чтобы равновесие было устойчивым?

Дано: q1= 7 нКл = 7·10-9 Кл; q2 = 4 нКл = 4·10-9 Кл; r = 15 см = 0, 15 м. Найти: x.

Решение: Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия заряда q₃. Если заряд q₃ будет находиться на линии, соединяющей заряды q₁ и q₂, то, каков бы ни был знак заряда q₃, силы его взаимодействия с зарядами q₁ и q₂ будут направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, отыщется точка на прямой АВ (рис. 2), в которой силы, действующие противоположно на заряд q₃, будут уравновешены.

Такая точка находится на расстоянии х от заряда q₃ до заряда q_1. При отклонении заряда q₃ от этой точки вправо или влево возникающее неравенство сил со стороны зарядов q₁ и q₂ будет неизменно возвращать заряд q₃ в положение равновесия. Рассмотрим теперь случай отклонения заряда q₃ перпендикулярно линии АВ. В этом случае, если заряд положительный, при отклонении его вверх или вниз от положения равновесия силы отталкивания его зарядами q₁ и q₂ создадут равнодействующую, отбрасывающую заряд от линии АВ, на которой находится точка равновесия. Следовательно, при q₃> 0 положение равновесия не будет устойчивым. Если заряд q₃ отрицательный, то при его отклонении вверх или вниз от положения равновесия силы притяжения его зарядами q₁ и q₂ создают равнодействующие, возвращающие заряд q₃ на линию АВ. В этом случае равновесие заряда устойчивое.

При равновесии заряда q₃ силы F₁ и F₂, действующие со стороны зарядов q₁ и q₂ равны между собой:

F₁ = F₂.

Выразив F₁ и F₂ по закону Кулона, получим , или . Извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, имеем . Откуда

. (1)

Вычислим искомое расстояние:

.

Ответ: Точка, в которую нужно поместить заряд q₃ находится на расстоянии 8, 5 см от заряда q_{1 .}

Пример 3. Два заряда q₁ = 9 нКл и q₂ = –7 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 20 см. Определить напряжённость и потенциал электрического поля в третьей вершине треугольника.

Дано: q1 = 9 нКл = 9·10-9 Кл; q2 = –7 нКл = –7·10-9 Кл; a = 20 см = 0, 2м; β = 600. Найти: Е, j.

Рис. 3

Решение: По принципусуперпозиции полей напряжённость электрического поля в точке А (рис. 3) является геометрической (т.е. векторной) суммой напряжённостей и полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ соответственно:

.

Модуль результирующей напряжённости может быть найден по теореме косинусов как диагональ параллелограмма, построенного на векторах и

(1)

Напряжённость электрического поля точечного заряда выражается формулой

, (2)

где q – заряд, создающий поле; k – коэффициент пропорциональности в законе Кулона; r – расстояние от расчётной точки поля до заряда, его создающего.

Так как r = r₁ = r₂ = a, то имеем

, . (3)

Подставив (3) в (1), получим

. (4)

Вычислим Е в точке А

Потенциал электрического поля в точке А равен алгебраической сумме потенциалов j₁ и j₂ полей, создаваемых зарядами q₁ и q₂ соответственно:

j = j₁ + j₂. (5)

Потенциал поля точечного заряда выражается формулой

. (6)

В формуле (6) обозначения те же, что и в формуле (2). Подставив (6) в (5) и учитывая, что r = r₁ = r₂ = а, получим

, (7)

где знак потенциала соответствует знаку заряда.

Подставим числовые значения величин в (7) и вычислим резуль-тирующий потенциал в точке А .

Ответ: Е = 1, 84 кВ/м, j = 90 B.

Пример 4. Электростатическое поле создано двумя заряженными пластинами с зарядами q₁ = 16 нКл, q₂ = –4нКл. Площади пластин
S₁ = S₂ = 0, 04 м², а расстояние между ними d = 0, 5 см. Определить напряжённость поля, между пластинами и вне их. Построить график изменения напряжённости вдоль оси, перпендикулярной пластинам, считая напряжённость положительной, если её вектор направлен слева направо. Найти разность потенциалов между пластинами.

Дано: q1 = 16 нКл = 16·10-9Кл; q2 = - 4 нКл = - 4· 10-9 Кл; S1 = S2 =0, 04м2; d = 0, 5 см = 5·10-3м. Найти: ЕI; EII; EIII; Δ j.

Рис. 4

Решение: Согласно принципу суперпозиции, поля создаваемые каждой заряженной плоскостью в отдельности, накладываются друг на друга, причем каждая заряженная плоскость создает электрическое поле независимо от присутствия другой заряженной плоскости. .(1) Напряжённости электрических по-лей, создаваемых пластинами, которые считаем бесконечно большими равномерно заряженными плоскостями соответственно равны:

, , (2)

где s₁ и s₂ – поверхностные плотности зарядов пластин, – электрическая постоянная.

, . (3)

На рис. 4а изображены заряженные пластины и силовые линии полей: сплошные – силовые линии первой пластины, пунктирные – второй пластины.

Плоскости делят все пространство на три области: I, II, III. Как видно из рис. 4а, в первой и третьей областях и направлены в противоположные стороны, а модули напряжённостей суммарных полей
Е^I = Е^II.

Находим

(4)

Между пластинами силовые линии полей направлены в одну сторону и, следовательно:

. (5)

Подставим числовые значения в (3) и вычислим модули напряжённостей вне и между пластин: ; .

График распределения напряжённостей суммарного поля представлен на рис. 4б.

Напряжённость однородного электрического поля связана с разностью потенциалов соотношением: , откуда

. (6)

Определим значение разности потенциалов между пластинами:

Ответ: E^I = E^III = 17 кВ/м; Е^II = 28, 2 кВ/м; ∆ j = 141 В.

Пример 5. Четыре одноимённых точечных заряда величиной q расположены в вершинах квадрата со стороной а. Какую работу надо совершить, чтобы поместить их в вершины тетраэдра с ребром равным а?

Дано: q; а. Найти: А.

Рис. 5

Решение: Потенциальная энергия системы зарядов равна сумме энергий попарно взаимодействующих зарядов. Для первой конфигурации зарядов потенциальная энергия равна:

W^I = W_{1, 2} + W_{1, 3} + W_{1, 4} + W_{2, 3} + W_{2, 4} +W_{3, 4}. (1)

По условию задачи q₁ = q₂ = q₃ = q₄, то

(2)

Следовательно,

. (3)

Для второй конфигурации потенциальная энергия взаимодействия зарядов равна:

W^II = W_{1, 2} + W_{1, 3} + W_{1, 4} + W_{2, 3} + W_{2, 4} + W_{3, 4}, (4)

так как расстояния между вершинами в тетраэдре одинаковые и равны а

. (5)

Работа по перемещению зарядов из одной конфигурации в другую равна разности потенциальных энергий

. (6)

Подставив в (6) выражения (3) и (5) получим: .

Ответ: .

Пример 6. Шарик массой m = 1 г перемещается из точки 1, потенциал которой φ ₁ = 600 B, в точку 2, потенциал которой равен нулю. На сколько изменилась при этом скорость шарика, если в точке 2 его скорость возросла до u₂ = 20см/с. Заряд шарика q = 10 нКл.

Решение: На заряженный шарик при его движении в электрическом поле со стороны поля действует электрическая сила, работа которой равна изменению кинетической энергии шарика.

А = Δ W_к, (1)

так как

и ,

то уравнение (1) можно привести к виду:

, (2)

тогда

. (3)

Подставим числовые значения величин в (3), получим

, Δ u = u₂ - u₁ =0, 2 – 0, 17 = 0, 03 м/c.

Ответ: Скорость шарика увеличилась на 0, 03 м/с.

Пример 7. Плоский воздушный конденсатор, расстояние между пластинами которого d = 10 см, заряжен до разности потенциалов U₀ = 250 В и отключен от источника. Площадь его пластин S = 100 см². Определить заряд конденсатора. Во сколько раз изменились ёмкость, разность потенциалов, энергия конденсатора, если в пространство между пластинами внести стеклянную пластинку толщиной d₂ = 8 см и прижать ее к одной из пластин конденсатора?

Дано: d = 10 см = 0, 1 м; U0 = 250 B; S = 100 см2 = 10-2 м2; d2 = 8 см = 0, 08 м; e1 = 1; e2 = 6. Найти: q; C/C0; U/U0; W/W0.

а) б) Рис. 6

Решение: По определению электроёмкость конденсатора равна от-
ношению заряда конденсатора к разности потенциалов между пластинами:

. (1)

Зависимость ёмкости плоского конденсатора от его размеров выражается формулой

. (2)

Выразив из (1) искомый заряд и подставив (2) в полученную формулу, находим:

, (3)

где ε _o= 8, 85∙ 10^-12 Ф/м – электрическая постоянная.

С учётом числовых значений заряд конденсатора .

Если параллельно обкладкам плоского конденсатора ввести слой диэлектрика, частично заполняющего воздушную прослойку, то такой конденсатор можно рассматривать как два конденсатора емкостями С₁ и С₂ соединённых последовательно. Диэлектрик одного конденсатора – воздух (e₁ = 1), толщиной d₁ = 0, 02 м. Диэлектрик другого конденсатора – стеклянная пластинка с диэлектрической проницаемостью e₂ = 6 и толщиной d₂ = 0, 08 м.

Ёмкость двух последовательно соединённых конденсаторов равна:

. (4)

Подставляя в формулу (4) выражения для и получим:

. (5)

Из формулы (5) видно, что изменение вида диэлектрика и расстояния между пластинами конденсатора приводит к изменению его ёмкости. Разделив почленно (5) на (2) и подставив числовые значения, имеем .

Следовательно, ёмкость конденсатора увеличилась в 3 раза.

Из формулы (1) находим разности потенциалов для начального и конечного состояний конденсатора , , откуда

.

Напряжение на конденсаторе уменьшается в 3 раза.

Энергия поля конденсатора в его начальном и конечном состоянии выражается формулами

, . (6)

Отношение энергий:

. (7)

Следовательно, энергия конденсатора уменьшается в 3 раза.

Ответ: q = 0, 2 пКл; ёмкость конденсатора увеличилась в 3 раза; напряжение на конденсаторе и его энергия уменьшились в 3 раза.

Пример 8. Три одинаковых источника тока с эдс e = 1, 5 В каждый соединены параллельно и создают в цепи ток I = 1 А. Определить коэффициент полезного действия батареи, если внутреннее сопротивление каждого источника тока r = 0, 3 Ом.

Дано: e = 1, 5 В; I = 1 A; r = 0, 3 Ом. Найти: h.

Рис. 7

Решение: При параллельном подключении одинаковых источников тока их общая электродвижущая сила равна эдс одного источника. В то же время батарея источников создает разветвлённый участок цепи, общее сопротивление которого может быть найдено из формулы проводимости группы параллельно соединённых элементов:

. (1)

Поскольку в нашем случае группа параллельно соединённых элементов образована батареей из трёх источников тока с общим сопротивлением r_б, а r₁ = r₂ = r₃ = r, формулу (1) можем записать в виде

r_б = r / 3. (2)

Батарея источников тока замыкается потребителем электроэнергии, сопротивление которого R. Тогда на основании закона Ома для замкнутой цепи . Отсюда

, (3)

где U – разность потенциалов на зажимах батареи источников тока.

Коэффициент полезного действия батареи

, (4)

где N_{полезная} – мощность тока в потребителе, N_{затраченная} – полная мощность батареи.

Из (3) следует, что

. (5)

Подставив (2) в (5) и затем в (4), получим

(6)

С учётом числовых значений величин .

Ответ: η = 93%.

Пример 9. Электродвигатель работает в сети с напряжением
U = 120 В. Номинальная мощность двигателя N = l, 2 кВт, коэффициент полезного действия η = 75 %. Определить силу тока, потребляемую двигателем, и сопротивление его обмоток.

Решение: Мощность двигателя

N = IU,

где I – сила тока, потребляемая двигателем. Отсюда

.

Подставим значения величин в расчётную формулу и вычислим

Коэффициент полезного действия двигателя

(1)

где N₁ – полезная мощность.

N₁ = N – N₂, (2)

где N₂ – мощность, расходуемая на нагревание обмоток двигателя.

. (3)

где r – сопротивление обмоток.

С учетом (3) и (2) равенство (1) примет вид , откуда

(4)

Вычислим значение .

Ответ: I = 10 A; r = 3 Ом.

Пример 10. Предохранитель изготовлен из свинцовой проволоки сечением S = 0, 2 мм². Найти ток короткого замыкания, если предохранитель перегорел через 0, 2 с. Начальная температура предохранителя
t₀ = 27 ^оС.

Решение: По закону Джоуля – Ленца, количество теплоты, выделяющееся в предохранителе за время t

, (1)

где r = 21·10^-8 Ом·м – удельное сопротивление свинца, L – длина проволки.

Количество теплоты, необходимое для нагревания свинцового предохранителя до точки плавления, равно:

, (2)

где С = 130 Дж/кг·^º С – удельная теплоёмкость свинца, D = 11300 кг/м³ – плотность свинца, Δ t – изменение температуры от t₀ до температуры плавления t_пл = 327 º C.

При перегорании предохранителя плавится очень короткий отрезок проволоки, поэтому количество теплоты необходимое для плавления всего предохранителя не учитываем.

Считая, что все количество теплоты, выделяющееся в предохранителе, идёт на его нагревание, можно написать:

Q₁ = Q₂ (3)

или с учётом выражений (1) и (2)

откуда

(4)

Подставим числовые значения величин в (4) и вычислим ток короткого замыкания .

Ответ: I_кз = 20 A.

Пример 11. Термопара с сопротивлением r₁ = 6 Ом включена в цепь с гальванометром, сопротивление которого r₂ = 4 Ом. Чувствительность гальванометра I₀ = 5∙ 10^-2 мкА. Какое минимальное изменение температуры позволяет определить это измерительное устройство, если постоянная термопары k = 5∙ 10^-2 мВ/^oС?

Дано: r1 = 6 Ом; r2 = 4 Ом; I = 5·10-2 мкА = 5·10-8 А; k = 5·10-2 мВ/º С = 5·10-5 В/º С. Найти: ∆ tmin.

Рис. 8

Решение: Минимальное изменение температуры, фиксируемое данным измерительным устройством, соответствует смещению стрелки гальванометра на одно деление. Цена одного деления гальванометра называется его чувствительностью. Следовательно, искомая величина равна разности температур спаев термопары, при которой гальванометр покажет одно деление, т.е. ток I₀.

Электродвижущая сила термопары, согласно принципу её действия, пропорциональна разности температур спаев ∆ t:

. (1)

Согласно закону Ома для замкнутой цепи,

. (2)

Из (1) и (2) получим

. (3)

С учетом числовых значений

Ответ: ∆ t_min = 0, 01 ^оС.