Формула Пуазейля

(рис. 80)

Формула Пуазейля дает величину объемного расхода жидкости при ламинарном течении жидкости по цилиндрическим трубам. Рассмотрим установившийся поток жидкости по цилиндрической трубе радиуса R и длины L, ось которой горизонтальна (рис.80). давление в левом сечении трубы равно P₁, а в правом Р₂, причем P₁> P₂. Скорость потока максимальна вдоль оси трубы и равна ну ли у стенок, выделим в трубе тонкий цилиндрический слой радиуса х и толщины dx, в пределах которого скорость жидкости можно считать одинаковой. На торцы выделенного слоя действует силы давления, равнодействующая которых равна:

На внутреннюю и внешнюю поверхности слоя действуют силы вязкого трения. По закону Ньютона для вязкого трения на внутреннюю поверхность слоя действует сила:

а равнодействующая сил вязкого трения, приложенных к внутренней и внешней поверхностям, соответственно равна:

Так как жидкость движется с постоянной скоростью, сумма приложенных к слою сил равна нулю, т.е.:

(303)

Интегрируя (303), получим:

Постоянную интегрирования С₁ можно получить из условия, что вдоль оси трубы скорость максимальна:

следовательно С₁=0. С учетом этого:

(304)

Интегрируя (304), получим:

Постоянную интегрирования С₂ получим из условия, что у стенок трубы скорость жидкости равна нулю x=R,, V=0, поэтому:

Подставив найденное значение постоянной интегрирования в общее решение, получим зависимость скорости жидкости от расстояния до оси трубы:

(305)

Для определения объемного расхода запишем сначала элементарный объемный расход по выделенному цилиндрическому слою:

(306)

Полный объемный расход по всей трубе получим интегрированием (306) по всем слоям:

(307)

Выражение (287) называет формулой Пуазейля.