Основные дискретные законы распределения и их характеристики

67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросаются точек. Пусть случайная величина – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию .

68. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть – число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание .

69. Случайные величины распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

70. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

71. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. точек последовательно бросаются наудачу на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .

72. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .

73. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами , – число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .

74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .

75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна . Пусть – время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию .

77. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

78. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

79. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .

80. Случайная составляющая выручки равна , где – биномиальная случайная величина с параметрами и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а .

81. Для пуассоновской случайной величины отношение . Найдите математическое ожидание .