Уравнение прямой, проходящей через заданную точку в данном направлении

Пусть прямая образует с осью угол и проходит через точку . Т.к. , то ее координаты удовлетворяют уравнению (3.1), т.е. . (3.2) Вычитая из (3.1) уравнение (3.2), получим . (3.3)   Полученное уравнение называется уравнением прямой по точке и угловому коэффициенту .

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть известны две точки, принадлежащие , . Запишем уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту : . (3.4) Т.к. точка также принадлежит , то ее координаты будут удовлетворять данное равенство: .

Из последнего равенства . Подставляя выражение для в уравнение (3.4): , получим уравнение прямой по двум точкам

общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).

1) Если , т.е. уравнение (3.6) не содержит , то оно представляет прямую, параллельную оси (рис. 3.9):

.

Если - уравнение оси .

2) Если (уравнение не содержит ), тогда прямая параллельна оси (рис.3.10):

.

Если - уравнение оси .

3) Если , тогда уравнение имеет вид и прямая проходит через начало координат (рис. 3.8).

Точка пересечения прямых

Если заданы две прямые и , то координаты точки их пересечения должны удовлетворять уравнению каждой прямой, т.е. они могут быть найдены из системы: .

Если прямые не параллельны, т.е. , то решение системы дает единственную точку пересечения прямых.

27. Общее уравнение прямой на плоскости, его исследование. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Общее уравнение прямой и его исследование

Рассмотрим уравнение прямой с угловым коэффициентом . Перенесем все слагаемые в левую часть и перепишем его в следующем виде:

,

- (3.6)

общее уравнение прямой, где и не равны нулю одновременно, т.е. .

Рассмотрим частные случаи уравнения (3.6).

1) Пусть . Тогда уравнение можно записать в виде: . Обозначим .

Если , , то получим (уравнение прямой с угловым коэффициентом);

Если , , то (уравнение прямой, проходящей через начало координат);

Если , , то (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

Если , , то (уравнение оси Ох).

3) Пусть , . Тогда уравнение примет вид . Обозначим .

Если , то получим (уравнение прямой, параллельной оси Оу);

Если , то (уравнение оси Оу).

Т.о., при любых значениях коэффициентов , (не равных одновременно нулю) и уравнение есть уравнение некоторой прямой линии на плоскости Оху.

- общее уравнение прямой.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых:

Если прямые и параллельны, то угол и , откуда из формулы угла между двумя прямыми . И наоборот, если , то по этой же формуле и .

Т.о., равенство угловых коэффициентов является необходимым и достаточным условием параллельности 2х прямых.

- условие параллельности двух прямых.

Если прямые перпендикулярны, то , при этом или , откуда или .

Справедливо так же и обратное утверждение.

Т.о., для перпендикулярности прямых необходимо и достаточно, чтобы их угловые коэффициенты были обратны по величине и противоположны по знаку.

- условие перпендикулярности двух прямых.

Если две прямые заданы уравнениями в общем виде: и , то учитывая их угловые коэффициенты и , условие параллельности прямых имеет вид: .

Следовательно, условием параллельности прямых, заданных общими уравнениями является пропорциональность коэффициентов при переменных.

Условие перпендикулярности прямых в этом случае примет вид или ,

Т.е. условием перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями, является равенство нулю суммы произведений коэффициентов при переменных х и у.

28. Кривые второго порядка, их общее уравнение.

ü Нормальное уравнение окружности.

ü Каноническое уравнение эллипса.

ü Геометрический смысл параметров окружности и эллипса.

29. Канонические уравнения гиперболы и параболы, геометриче­ский смысл их параметров.

ü Уравнение асимптот гиперболы.

ü График обратно пропорциональной зависимости и квадратного трехчлена.

30. Общее уравнение плоскости в пространстве и его частные случаи.

ü Нормальный вектор плоскости.

ü Условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей.

31. Уравнения прямой линии в пространстве как линии пересече­ния двух плоскостей.

ü Канонические уравнения прямой.

ü Направляю­щий вектор прямой.

ü Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых в пространстве.

32. Углы между двумя плоскостями, между двумя прямыми, между прямой и плоскостью.

ü Условия параллельности и перпендикуляр­ности двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.

. Система m линейных уравнений с n переменными.

ü Теорема Кронекера–Капелли.

ü Условие определенности и неопределенности любой системы линейных уравнений. https://function-x.ru/systems.html

11. Базисные (основные) и свободные (неосновные) переменные системы m линейных уравнений с n переменными.

ü Базисное решение.

12. Система линейных однородных уравнений и ее решения.

ü Усло­вие существования ненулевых решений системы.

13. Векторы на плоскости и в пространстве (геометрические век­торы).

ü Линейные операции над векторами (сложение, умножение вектора на число).

ü Коллинеарные и компланарные векторы.

14. Скалярное произведение двух векторов (определение) и его выражение в координатной форме.

ü Угол между векторами.

15. n ‑ мерный вектор.

ü Линейная комбинация, линейная зависи­мость и независимость векторов.

16. Векторное (линейное) пространство, его размерность и базис.

ü Теорема о существовании и единственности разложения вектора линейного пространства по векторам базиса.

17. Скалярное произведение векторов в n ‑ мерном пространстве.

ü Евклидово пространство.

ü Длина (норма) вектора.

18. Ортогональные векторы.

ü Ортогональный и ортонормирован­ный базисы.

ü Теорема о существовании ортонормированного базиса в евклидовом пространстве.

19. Определение оператора.

ü Понятие линейного оператора.

ü Образ и прообраз векторов.

20. Матрица линейного оператора в заданном базисе: связь между вектором х и образом у.

ü Ранг оператора.

ü Операции над линейными операторами.

ü Нулевой и тождественный операторы.

. Матрица линейного оператора в базисе, состоящем из его соб­ственных векторов. Пример.

23. Квадратичная форма (определение).

ü Матрица квадратичной формы.

ü Ранг квадратичной формы. Пример.

24. Квадратичная форма (канонический вид).

ü Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Пример.

ü Закон инерции квадратичных форм.

25. Положительно и отрицательно определенная, знакоопределен­ная квадратичные формы.

ü Критерии знакоопределенности квадра­тичной формы (через собственные значения ее матрицы и по кри­терию Сильвестра).