Применение метода Гаусса и матрицы Zy для решения нелинейных уравнений узловых напряжений

Система нелинейных уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (_50) линейна слева и нелинейна справа. Физически эта особенность определяется тем, что все параметры схемы замещения электрической системы линейны, кроме источников токов . Иногда говорят, что продольная часть схемы замещения линейна, а поперечная – нелинейна.

Метод Гаусса при расчете нелинейных уравнений узловых напряжений можно использовать на каждом шаге итерационного процесса, считая систему нелинейных уравнений узловых напряжений линейной на данном шаге. Зададимся начальными приближениями переменных . Определим правые части в нелинейной системе уравнений узловых напряжений в форме баланса токов (_49) или (_50), т. е. вычислим элементы вектор-столбца при :

(_55)

Полагаем, что токи в узлах постоянны и определяются начальными приближениями узловых напряжений. Тогда

(_57)

Решая систему (_57), определяем первое приближение напряжений узлов . Далее переходим ко второму шагу, т.е. определяем правые части (_55) при значениях узловых напряжений, равных их первым приближениям:

(_58)

Затем найдем второе приближение узловых напряжений, решая линейную систему с той же матрицей Yy, и так далее до тех пор, пока процесс не сойдется. При этом каждый шаг итерационного процесса состоит из определения 1(U^) и решения системы линейных уравнений

(_59)

(_60)

где i — номер шага.

Для решения линейной системы уравнений узловых напряжений (9.60) на каждом шаге итерационного процесса целесообразно использовать метод исключения по Гауссу. В этом случае система с комплексными переменными преобразуется в систему с действительными переменными. Для эффективного решения линейных уравнений установившегося режима по Гауссу необходимо учитывать слабую заполненность матрицы узловых проводимостей.