Тема 2.1.4. Интерполяционная формула Уиттекера-Шеннона, частота Найквиста

Интерполяционная формула Уиттекера — Шеннонаслужит для восстановления непрерывного сигнала с ограниченным спектром из последовательности равноотстоящих отсчётов. Интерполяционная формула, как её обычно называют, восходит к работе Эмиля Бореля, датированной 1898 годом, и к работе Эдмунда Уиттекера, датированной 1915 годом. Интерполяционная формула была процитирована из работы сына Эдмунда Уиттекера — Джона Макнагтена Уиттекера, датированной 1935 годом, в виде теоремы отсчётов Найквиста — Шеннона в 1949 году, автором редакции был Клод Шеннон, до Шеннона данную теорему сформулировал Котельников. Также интерполяционную формулу обычно называют интерполяционной формулой Шеннона, илиинтерполяционной формулой Уиттекера.

Теорема отсчётов гласит, что при некоторых ограничивающих условиях, функция может быть восстановлена из её дискретизации, , согласно интерполяционной формуле Уиттекера — Шеннона:

где — период дискретизации, — частота дискретизации, — нормализированная sinc-функция.

Есть два граничных условия, которым должна удовлетворить функция , для того чтобы выполнялась интерполяционная формула:

должно быть ограничено. Преобразование Фурье для функции должно обладать следующим свойством: для , где .

Частота дискретизации должна в два раза превышать диапазон частот, , или что эквивалентно:

где — период дискретизации.

Интерполяционная формула воссоздаёт оригинальный сигнал , только тогда, когда эти два условия будут выполнены. В противном случае возникает наложение высокочастотных компонентов на низкочастотные — алиасинг.