Условие Найквиста для минимума межсимвольной интерференции

Проблема повышения удельной скорости передачи данных была предметом напряженных исследований. Можно, например, менять форму импульса, который ставится в соответствие передаваемому двоичному знаку. Для того, чтобы повысить скорость передачи можно потребовать, чтобы воздействие соседних импульсов было сведено к нулю лишь в моменты отсчета значений принятого сигнала (0, T, 2T, 3T…). Это требование называется первым условием Найквиста. Импульс, соответствующий этому условию, обеспечивает отсутствие межсимвольных искажений. Такой импульс известен, его форма приведена. Если, например, в момент времени t=0 должен передаваться единичный двоичный символ, то в канал связи отправляется импульс g(t). В моменты времени (0, T, 2T, 3T…) значения импульса равны нулю, следовательно, в эти моменты могут передаваться следующие двоичные знаки, причем по Найквисту их прием не будет сопровождаться межсимвольной интерференцией. Скорость передачи данных равна 1/T (бит/с). Амплитудный спектр импульса, соответствующего первому условию Найквиста. Ширина полосы частот, занимаемой этим импульсом, равна 1/2T (Гц). Таким образом, спектральная эффективность данных равна Sn=2(бит/с)/Гц. Это предел удельной скорости передачи данных с помощью двухпозиционных (двухуровневых) импульсов, называемый иногда «барьером Найквиста». И мало в каких работах оговаривается при каком значении Eb/No и вероятности ошибки. Увы, ниже 2.5dB при Pe=10e-5 работ не обнаружено.

Все без исключения работы в связи рассматривают методы получения импульса, показанного выше. Он соответствует выходному сигналу идеального фильтра нижних частот, на вход которого подан прямоугольный импульс бесконечно малой длительности. Но идеальный фильтр нижних частот не реализуем, задержка сигнала в нем была бы равна бесконечности. Но даже если бы импульс в форме можно было бы сформировать, то его нельзя было бы использовать на практике. Причину этого обстоятельства можно объяснить с использованием глазковой диаграммы. Вертикальное раскрытие глазка в случае использования импульсов, соответствующих первому условию Найквиста, равно максимальному, что и означает отсутствие межсимвольных искажений. Однако горизонтальное раскрытие глазка стремится к нулю. При самом незначительном отклонении моментов отсчета межсимвольные искажения становятся столь большими, что восстановление значений передаваемых данных невозможно. Значение условия Найквиста и соответствующего ему импульса заключается в установлении ориентира, к которому должны стремиться разработчики систем связи. Увы идя заведомо по ложному пути.

Сравнительно простыми средствами удается добиться достижения удельной скорости передачи данных, составляющей 30-50% от «барьера Найквиста». Один из способов - сглаживание прямоугольной формы спектральной плотности импульса по косинусоидальному закону и соответственно небольшое изменение формы импульса, связанное с уменьшением колебаний импульса за пределами интервала (-T...+T). Но все таки была обнаружена одна интересная работа:

В работе [7]:

Утверждается, что из-за уменьшения коэффициента сглаживания меньше 1, передача по квадратурному каналу без МСИ невозможна. Заштрихованная область «хвоста» АЧХ не проходит через канал при а=0.5. Поэтому рекомендуется канальные фильтры выбирать с частотой среза 2Fn (а=1). Хотя битовая скорость в QI каналах в 2 раза ниже! Это очень серьезное замечание требующее специального исследования. Как на самом деле выбирать фильтры передачи и приема в основной не модулированной полосе? Ведь если уж тут ошибка (до реальных помех в эфире), то применение цифровых методов борьбы с групповыми (перемежение) и одиночнымы ошибками (турбосверточные кодеки) сводит всёна нет. Мы всю мощь цифровой борьбы с ошибками фактически тратим на собственную инженерную ошибку элементарного проектирования в основной не модулированной полосе частот!

Интересно, что «барьер Найквиста» не является такой абсолютной границей, как, например, пропускная способность канала связи, задаваемая формулой Шеннона:

C=Fx log2(1+Ps/Pn),

где C - предельная скорость передачи информации, или пропускная способность канала связи с шириной полосы пропускания F и отношением мощности сигнала к мощности шума на выходе канала Ps/Pn.

(Не следует путать скорость передачи информации со скоростью передачи данных, хотя размерности этих величин и одинаковые - бит/с. О понятии «информация» см.: 625. 1997, № 7, с. 60).

Пропускная способность канала, или «граница Шеннона», не может быть превышена - при приближении скорости передачи информации к теоретическому пределу необходимо существенно усложнять способы кодирования передаваемых данных. Формула Шеннона подсказывает и принцип преодоления «барьера Найквиста» - увеличение отношения мощности сигнала к мощности шума. Чем больше это отношение, тем в меньшей полосе могут быть переданы данные. А конкретным способом преодоления барьера может быть переход к многопозиционным (многоуровневым) сигналам, которые можно применять при большой мощности сигнала без риска увеличить вероятность ошибки при определении величины принимаемого сигнала. Однако зависимость пропускной способности от мощности сигнала является логарифмической, поэтому преодолевать «барьер Найквиста» достаточно трудно (необходимая мощность сигнала как функция скорости передачи данных растет по экспоненциальному закону).

Профессор. Л.М. Финк в интересной книге «Сигналы, помехи, ошибки.» сравнивает «барьер Найквиста» в технике связи со звуковым барьером в авиации. Достичь скорости звука и превзойти ее оказалось возможным, но для этого потребовались десятилетия труда ученых и инженеров. Границу Шеннона можно тогда было бы сравнить со скоростью света.

Формула Шеннона дает ясное представление о границе реализуемости систем цифровой передачи. Техническая область реальных устройств всегда ниже теоретического отношения С/W (скорость / полоса). С другой стороны есть зависимость спектральной эффективности от отношенияEb/No (энергия бита/энергия шума). Нужно обязательно это учитывать. Так как отношение сигнал/шум связано с отношением Eb/No через спектральную эффективность, а максимально возможная помехоустойчивость достигается только в одном случае, если сигналы ортогональны и противоположны одновременно (по Котельникову, это принцип потенциальной помехоустойчивости).

Заметки по применению GMSK модема FX589. (материал для помощи в понимании проблемы)

Начало перевода:

Самый простой способ передачи данных по FM радио заключается в сдвиге RF несущей в одну сторону для представления логической ‘1’ и в другую сторону для представления логического ‘0’. Такой прямой метод известен как манипуляция частотным сдвигом (FSK); FSK может быть успешным, но предъявляет требования на очень широкую полосу передачи. Для уменьшения полосы входные данные перед модуляцией могут быть пропущены через фильтр с низкочастотной фильтрацией специальной формы. Одним из эффективных методов является Гауссова манипуляция с минимальным сдвигом (GMSK). [6]

GMSK это метод модуляции данных для передачи данных с высокой скоростью в узкополосных каналах FM радио. В своей простейшей формеGMSK включает в себя прохождение цифрового потока данных через Гауссовый фильтр перед их подачей на вход частотного модулятора

Гауссовый фильтр это низкочастотный элемент который при возбуждении на его импульсом на выходе выдает сигнал в виде Гауссовой кривой.

Ниже представлено движение потока данных в системах FM радио использующих GMSK модем:

На диаграмме ниже представлены выходы фильтра GMSK для входной логической последовательности “1 0 0 0 1 0 0 0”. Обратите внимание на задержку после фильтра и на то, что отдельный импульс растягивается более чем на один период.

Настоящая GMSK передача, в радио, достигается когда данные с выхода Гауссового фильтра проходят через FM модулятор сохраняющий свойство неразрывности фазы, и у которого пиковая девиация равна половине используемой скорости передачи в битах. Max девиация (Hz) = Скорость передачи данных/2. Например, DEVMAX = 2kHz для скорости 4kbits/sec.

Т.О. Максимальная скорость передачи данных, которая может быть достигнута по радио каналу зависит от следующего –

- Ширина канала

- Допустимая интерференция с соседним каналом

- Полоса фильтра Tx (BT)

- Пиковая девиация несущей (Индекс модуляции)

- Точность установки несущей Tx и Rx

- Линейность модулятора и демодулятора

- Частотные и фазовые характеристики фильтра IF Rx

- Используемые методы коррекции ошибок

- Приемлемый уровень ошибок

В современной теории цифровой связи не существует однозначного инженерного подхода к выбору фильтров в основной (немодулированной) полосе частот [1, 2, 3]. Это вызвано тем, что теория (теорема Найквиста о МСИ-нулевой межсимвольной интерференции) есть только для идеального ФНЧ с прямоугольной характеристикой АЧХ по частоте Найквиста. Однако, этот фильтр не отвечает двум главным требованиям инженерной практики. Они (TX и RX) не являются причинными и физически реализуемыми. Здесь «причинность» понимается, как отклик фильтра после начала воздействия переднего фронта битового импульса. А «физическая реализуемость» понимается, как минимально возможный технически порядок рекурсивного (IIF-БИХ) или не рекурсивного фильтра (FIR-КИХ) при практической создании на реальных элементах радиотехники. С другой стороны теорема Найквиста о минимальной полосе канала связи и теорема Найквиста о частичной симметрии фильтра низких частот с характеристикой приподнятого косинуса дают неполную картину правил построения фильтров канала цифровой связи.

В настоящей работе дается простая и прецизионная методика инженерного решения этих задач с точностью до несущественного множителя. Кроме того, приводится аргументированное теоретически и практически доказательство единственности возможного правильного решения столь сложной совокупности задач связи. Рассмотрим более внимательней это.

Современные представления о нулевой МСИ.

Утверждение 1.

Что нужно для нулевой МСИ? Сигнал может запаздывать и иметь иной масштаб по амплитуде. Следовательно:

yвых(t)=kxвх(t-to), (1)

где:

yвых(t) – выходной сигнал канала связи,

xвх(t) – входной сигнал канала связи,

k- масштаб,

to- запаздывание (или To).

С другой стороны выходной сигнал канала связи y(t) является сверткой входного сигнала x(t) с импульсной характеристикой канала связи h(t).

(2)

Применим к обоим частям формулы (2) преобразование Фурье получим:

y(f)=kx(f)e-i2π fTo (3)

Поскольку свертка во временной области превращается в умножение в частотной области из уравнения (2) получим:

Y(f)=X(f)H(f) (4)

Где:

Y(f) –спектр выходного сигнала,

X(f)-спектр входного сигнала,

H(f)- АЧХ канала связи.

Или

H(f)=Y(f)/X(f) (5)

Подставим уравнение (1) в уравнение (5) видим, что АЧХ канала связи с нулевой МСИ имеет вид:

H(f)=ke -i2π fTo (6)

Из этого уравнения (6) классическая формулировка гласит следующим образом:

» Для нулевой МСИ отклик канала связи (его АЧХ) должен иметь постоянный модуль, а сдвиг фаз должен быть постоянным по частоте…»[3, стр 64].

Утверждение 2.

Следует заметить, что такой вывод (Утв. 1) сделан для канала связи в целом. Сам же канал связи состоит из передающего фильтра и приемного. В [4, стр 109] говориться, что при отсутствии искажений и МСИ, прием сигнала из канала связи после передающего фильтра можно выполнить на согласованный с сигналом фильтр. Причем, передаточная функция которого должна быть комплексно сопряженной со спектром сигнала из канала связи, т.е. с сигналом, прошедшего фильтр передатчика модема.

Утверждение 3.

Терема Найквиста о минимальной полосе канала связи [2, стр138] гласит: Если синхронные короткие импульсы с частотой следования Fsсимволов в секунду подаются в канал, имеющий идеальную прямоугольную АЧХ с частотой среза Fn=1/2Fs Гц, то отклик на эти импульсы можно наблюдать независимо, т.е. без МСИ.

Утверждение 4.

Теорема Найквиста о частичной симметрии фильтра с приподнятым косинусом гласит [2, стр 140]: суммирование действительной кососимметричной функции передачи с характеристикой идеального ФНЧ сохраняет моменты пересечения импульсной характеристики с нулевой осью. Это необходимое условия нулевой МСИ. Свойство симметрии при этом рассматривается относительно частоты Найквиста Fn.

Рис1 Теорема Найквиста о частичной симметрии.

Заметим, что указанная разность дает обычную АЧХ с максимальной пологостью, из всех известных типов фильтров, т.е. АЧХ типового фильтра Баттерворда. А ни какого иного фильтра. Упоминания о фильтре с приподнятым косинусом в первоисточнике нет. Этот фильтр присутствует только в названии теоремы о частичной симметрии.

Кроме того, канал связи (АЧХ или идеальный фильтр) с характеристикой по формуле (6) не реализуем в действительности, т.к. он нарушает принцип причинности и его порядок ставит инженеров тупик при реализации в виде не рекурсивных фильтров из-за ограничений по порядку фильтра. А порядок фильтра от 150 и более требует таких вычислительных ресурсов, что современные DSP/PLIS реализации просто не могут работать из-за больших токов потребления. Проблема в целом становиться неразрешимой. Попробуем в этом разобраться и сформулировать так теоремы о нулевой МСИ, чтобы не нарушать полученных результатов, но иметь качественно новые результаты, позволяющие преодолеть отмеченный набор противоречий.

Графически теоремы Найквиста и её интерпретации разных авторов о межсимвольной интерференции в основной немодулированной полосе частот сводятся к следующему: частота среза фильтра должна быть равна частоте 2Fn (частота Найквиста), групповое время запаздывания фильтра должно быть константой в полосе пропускания, а фаза д.б. линейно нарастающей (убывающей функцией) в полосе пропускания, что и представлено:

Выводы.

Для анализа противоречий был выполнен анализ известных фильтров применяемых в радиотехнике совместно с кодом NRZ и по поведению BERвыявлены наиболее помехоустойчивые и отвечающие признаку причинности и физической реализуемости. Анализ велся сразу с известным полосовым приемным фильтром Баттерворда. Например, первично для скорости 7400Бит/с был выбран физически реализуемый BPF типа IIR 4-го порядка с полосой 10-3700Гц. Нижняя частота определялась, как реальная минимальная возможная учитывающая наличие переходных конденсаторов в канале связи, а верхняя как частота Найквиста по теоретическим утверждениям. Причем, первично был взят 2-порядок фильтра, как минимально возможный. Не рекурсивные фильтры Banpass были отвергнуты сразу по причине требования высокого порядка (не менее 200) на низких частотах для получения полос пропускания от 10Гц с требуемым наклоном АЧХ.

Перечень исследованных передающих/приемных фильтров (1976-2010г.г.).

FIR-КИХ нерекурсивные фильтры:

- Lowpass

- Gauassin

- Root raiset cosine

- Rasiset cosine

Типа

- Rectangular

- Bartlett

- Blacman

- Hamming

- Hanning

- Kaiser

Всего 24 разновидности.

Результаты по BER не могли быть получены меньшими 10-18dB при вероятности ошибки 10е-5.

Рекурсивные фильтры:

исследованы фильтры Баттерворда, Чебышева, Бесселя и Эллиптические.

Фильтры Баттерворда.

Наилучшие результаты по BER 5.5dB (Pe=10t-5) для основной немодулированной полосы частот получены с фильтрами Баттерворда. Рассмотрим это и на основе полученных данных сформулируем новую трактовку набора теорем о нулевой МСИ для физически реализуемых фильтров для ограниченных по полосе сигналов, не нарушающих принцип причинности, и определим следствия из них.

Вид сигналов в канале связи, например, при 7400Бит/с Eв/No=5dB Fsim=180kHz. Демодуляция сигнала происходит при отношении сигнал/шум 5dB. Форма сигнала TX имеет вид апериодического затухающего звена с длинной спада до 3 бит.

Передающий ФНЧ:

Отклик на единичный бит имеет сдвиг по времени строго на 1 Бит. Амплитуда выброса (перерегулирование) больше примерно в 1.2 раза. Импульсная функция d(t) имеет вид затухающего апериодического звена с длиной отклика 5 Бит. Принцип причинности выполнен полностью. Особая точка на АЧХ фильтра TX (-10dB) на частоте 2Fn. Особая точка ФЧХ – сдвиг на 180 градусов на частоте Fn. Особая точка – максимум запаздывания 23мс для скорости цифрового потока 3700Бит/с на частоте 6400Гц. Что составляет 1.72Fn.

Приемный фильтр ФНЧ

Длительность отклика по нулевому уровню равна 27.02мс, что точно соответствует длине бита. Протяженность отклика 3.5 бита. Принцип причинности не нарушен. Особая точка -10dB на частоте 5550Гц равная 1.5Fn. Особые точки 3600Гц сдвиг фазы 90 градусов и 7400Гц сдвиг фазы 150 градусов. Все частоты после 2Fn имеют сдвиг по фазе 180градусов. Особая точка – максимум задержки 8.5мс на частоте 2400Гц, что равно 0.64Fn

BER канала связи на скорости 7400Бит/с. При 10е-5 Eb/No=6.5dB. Метод требует рекуренты из 19 триггеров. Наиболее часто используемые рекуренты на 17 и 23 триггера в скремблерах дают помехоустойчивость не меннее 9-10dB. Это нужно учесть.

Спектры в основной полосе и на несущей. Ширина спектра на несущей по уровню -20dBm равна 10кГц.