Доведення. n-n2=(n-1)n – це добуток двох послідовних цілих чисел

n-n²=(n-1)n – це добуток двох послідовних цілих чисел. Одне з них обов’язково парне і ділиться на 2.

Кожне ціле число n при діленні на 2 дає остачу 0 або 1:

1) Якщо остача r=0, то n=2k, .

2) Якщо остача r=1, тоді n=2k+1

n-1=2k+1-1=2k. Отже, . Інших випадків немає. Отже, яким би не було ціле число n, один із співмножників n, n-1, а тоді їх добуток ділиться на 2.

2. Неповна індукція

Інколи загальний висновок можна зробити після розгляду не всіх можливих випадків, а тільки деяких. Таке міркування не є строгим доведенням і називається неповною індукцією.

Результат, одержаний неповною індукцією, це гіпотеза, яка вимагає строгого доведення. Наведемо декілька прикладів.

Приклад №1

Знайти формулу для обчислення суми перших n натуральних чисел S(n)=1+2+3+4+5+…+n;

Розглянемо частинні випадки:

n=1 1=1,

n=2 1+2=3,

n=3 1+2+3=6,

n=4 1+2+3+4=10,

n=5 1+2+3+4+5=15.

Очевидно можна зробити припущення, що сума перших n членів натурального ряду S(n)=1+2+3+4+5+…+n= .

Доведемо цю гіпотезу одержану в результаті неповної індукції методом математичної індукції.