Доведення. 1) Базис індукції: При n=1 S1= = формула вірна.

1 ) Базис індукції: При n=1 S₁= = формула вірна.

2 ) Індуктивний перехід:

Припустимо, що дана рівність має місце при n=k, тобто S_k= .()

Виходячи із цього припущення. Доведемо, що воно істине і для n=k+1, тобто, що S_k+1= , S_k+1= S_k+ .

Враховуючи припущення () маємо: S_k+1= = .

Отже, формула вірна і при n=k+1. За принципом математичної індукції вона справджується і при будь-якому n .

За допомогою методу неповної математичної індукції можна одержати і формули для добутків, а потім довести їх методом математичної індукції.

Приклад №2

Нехай де

Із рівностей

; n=2

; n=3

; n=4. Робимо індукційний висновок, що .

Доведемо цю формулу

1 спосіб доведенн я.

1) При n=2 маємо . Формула вірна.

Припустимо, що при n=k, k> 2 формула формула справджується, тобто .

Враховуючи це припущення, доведемо, що вона вірна і при n=k+1.

Формула справджується і при n=k+1.

Отже, за принципом повної математичної індукції, вона вірна і при ,

2 спосіб доведення.

При доведенні даної тотожності за допомогою методу математичної індукції корисно було б зробити так:

Записати цю тотожність при n=k. (1), потім при n=k+1. (2)

Поділити (2) на (1), ліву частину на ліву, праву на праву .

Одержали один і той самий вираз , а це значить, що за методом математичної індукції можна сказати, що дана тотожність справджується при всіх натуральних n.

5. Узагальнення методу математичної індукції

В деяких задачах трапляється, що твердження, яке необхідно довести, має місце не для всіх натуральних значень n, а лише для значень n, починаючи з певного натурального числа n_о. У таких випадках можна скористатися узагальненим принципом математичної індукції.

Сформулюємо цей принцип:

Нехай твердження, що залежить від натурального числа n, задовольняє такі умови:

1. Це твердження є правильним при n=n_о;

2. З припущення правильності даного твердження при n=k (де k n_о) випливає його істинність і при n=k+1. Тоді дане твердження справджується при всіх натуральних n n_о.

Необхідно розуміти, що при значеннях n< n_о твердження може бути як вірним так і невірним; у всякому разі, яких-небудь заключень щодо істинності твердження при 1 n < n_o з проведеного доведення методом математичної індукції зробити не можна.

Наведемо приклади використання узагальненого принципу математичної індукції.

Приклад №1

Довести, що 2ⁿ> 2n+1, якщо