Внешняя задача тепломассообмена

При рассмотрении внешней задачи предположим, что внутри частицы градиента температуры и концентрации пренебрежимо малы по сравнению с соответствующими градиентами во внешнем потоке. В этом случае поток тепла или вещества можно найти с помощью уравнений баланса тепла и массы для внешнего течения. Поскольку тепловые и диффузионные процессы аналогичны, в дальнейшем использовали термины массопередачи. Рассматриваемый случай соответствует практике металлургического производства, поскольку растворимость многих газов (N₂, H₂, O₂) в жидких металлах обычно невелика. В этом случае коэффициент распределения имеет большие значения и согласно уравнению

или .

Растворимость газов в молекулах описывается законом Сиверста

, (3.1)

где с^* – равновесная концентрация поглощаемого газа в жидкости, молярная доля; р^* – равновесное парциальное давление поглощаемого газа над раствором; y – коэффициент распределения.

При малой растворимости газа вследствие медленного отвода газа от поверхности раздела фаз в глубь ванны концентрация газа на поверхности соответствует равновесной с газовой фазой при парциальном давлении Р_S, мало отличающемся от равновесного значения.

Примем, что частицу обтекает осесимметричный поток с заданным полем скоростей. Представим уравнение конвективного переноса в виде

В безразмерном виде уравнение конвективного переноса имеет вид:

. (3.2)

Краевые условия для внешней задачи массообмена имеют вид:

начальные

(3.3)

граничные (постоянство концентраций примеси на поверхности частицы и в потоке)

(3.4)

В уравнении (3.2) левая часть характеризует конвективный перенос вещества, правая – молекулярную диффузию. Соотношение между конвективным и диффузионным переносом вещества, характеризует критерий Пекле. При малых значениях критерия Пекле перенос вещества конвекцией пренебрежимо мал, по сравнению с молекулярной диффузией, что имеет метол при малой скорости движения потока и (или) малом размере частицы. При больших значениях критерия Пекле определяющим является конвективный перенос.

Критерий Пекле в задачах теплообмена, или в задачах массообмена.

Массообмен при умеренных значениях критерия Пекле (1£ Ре£ 10³)

При умеренных значениях критерия Пекле система уравнений (3.2-3.4) решается численным методом, а результаты решения затем аппроксимируются расчетной формулой.

Для газового пузырька (), движущегося при Re< 1, численные решения этих уравнений для значений Ре< 10³ с точностью 2-3% аппроксимируются формулой

, (3.5)

где Sh – число Шервуда, ; d – диаметр частицы, d=2r_o.

Для твердой сферической частицы (m^*®¥)

. (3.6)

Для капли справедлива формула

, (3.7)

где и определяется по формулам (3.5) и (3.6) при фиксированных значениях Ре.

Увеличение коэффициента массоотдачи (критерия Шервуда) с ростом критерия Пекле определяется процессом формирования диффузионного пограничного слоя в лобовой части сферической частицы Увеличение критерия Ре ведет к уменьшению толщины образующегося диффузионного пограничного слоя, что в свою очередь, согласно формуле

приводит к увеличению коэффициента массоотдачи b.

Массоперенос при больших значениях критерия Пекле (Ре> 10³)

При больших значениях критерия Пекле с достаточной для рпак4тических расчетов точностью процесс переноса можно считать установившимся и рассматривать его в приближении диффузионного пограничного слоя, уравнение (3.2) принимает вид

. (3.8)

Уравнение (3.8) совместно с граничными условиями (3.4) можно решить аналитически, для чего его следует привести к уравнению Лапласа, воспользовавшись уравнением Прантдля–Мизеса. Последнее предполагает переход от переменных R, q к y, q, где – безразмерная функция тока. Учитывая, что в пограничном слое сферической частицы (), разложим безразмерную функцию тока вблизи поверхности частицы в ряд Тейлора

(3.9)

и сохранили лишь первый неисчезающий член.

Из уравнения (3.9) получили выражение для переменной Прандтля– Мизеса

. (3.10)

Переменная Прандтля–Мизеса для твердой среды

. (3.11)

Введение новых переменных позволяет значительно упростить уравнение (3.8) и свести его у уравнению Лапласа

, (3.12)

где .

В новых переменных граничные условия имеют вид:

; (3.13)

. (3.14)

Полагая, что в точке набегания потока на сферу (точка q=0) концентрация вещества такая же, как на бесконечности, запишем

. (3.15)

Решение уравнения (3.12) с граничными условиями (3.13) – (3.15) имеет вид

, (3.16)

где l_о – значение l при q=0.

Зная величину потока вещества, можно определить коэффициент массопередачи

и величину числа Шервуда

. (3.17)