Формы представления закона распределения НСВ.

Ряд распределения, многоугольник распределения и формула не используются в качестве закона распределения НСВ.

Функция распределения НСВ X, есть непрерывная, кусочно-дифференцируема функция с непрерывной производной.

График функции распределения НСВ X, которая принимает все возможные значения на интервале (a, b).

Из свойства 2 функции распределения вытекает важное следствие для НСВ: вероятность того, что НСВ примет одно определенное значение равна 0. И тогда

Таким образом, не представляет интереса говорить о вероятности того, что НСВ примет одно определенное значение, но имеет смысл рассматривать вероятность попадания ее в интервал, пусть даже сколь угодно малой.

При этом надо понимать, что не означает, что событие X = x₁ невозможно. В результате испытания НСВ обязательно примет одно из возможных значений, в том числе и x₁.

Плотность вероятностей (плотность распределения вероятностей, плотность) НСВ X f (x) - функция, определяемая как первая производная функции распределения F(x)

(3.7)

Из определения следует, что F(x) - есть первообразная f (x) и выражается через f (x) формулой

(3.8)

Геометрически F(x) есть площадь кривой распределения, лежащая левее точки x.

График f (x) называется кривой распределения.

Размерность f (x) обратна размерности СВ (это не вероятность).

Свойства f (x):

1. f (x) неотрицательная функция, т.е. f (x) ≥ 0

2.Несобственный интеграл от f (x) на интервале (-∞; +∞) равен 1.

(3.9)

Это так называемое условие нормировки плотности распределения.

Если все возможные значения НСВ X принадлежат интервалу (a, b), то

(3.10)

3.Вероятность того, что НСВ X примет значение из интервала (a, b) равна определенному интегралу от f (x), взятому на интервале (a, b)

(3.11)

Геометрически это означает, что P (a < X < b) есть площадь под кривой распределения, ограниченная линиями x=a и x=b слева и справа соответственно и осью абсцисс внизу.

Величина f (x) dx для НСВ называется элементом вероятности и приближенно равна вероятности попадания СВ X на элементарный отрезок , примыкающий к точке x.

(3.12)

Пример. Для НСВ X, плотность распределения которой имеет вид

1) Определить коэффициент a;

2) Построить кривую распределения;

3) Найти F(x) и построить её график;

4) Вычислить P (0 < X < π /4)

Решение:

1. По (3.9)

a = ½

2. Кривая распределения f (x)

3. По (3.8)

При x < - π /2

При - π /2 ≤ x ≤ π /2

При x > π /2

График функции F(x)

4.Согласно второму свойству F(x)

Числовые характеристики НСВ.

Математическое ожидание НСВ X с плотностью f (x) - среднее значение НСВ X, вычисляемое по формуле

(3.12)

или

(3.13)

eсли НСВ X принимает значение только из интервала (a, b).

Мода НСВ X - значение x, в которой f (x) имеет максимум.

Медиана НСВ X геометрически – это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.