Інтервальний метод Ньютона для розв’язування рівнянь

Припустимо, що – неперервно диференційована функція, що має нуль на інтервалі x, тобто Тоді для будь якої точки з того ж інтервалу в силу теореми про середнє значення:

Де 𝜉 – деяка точка між . Ну так, як , звідси слідує:

Якщо являється яким-небудь інтервальним розширенням похідної функції на x, то і

Означення 1. Для заданої функції f відображення

Діє згідно правила:

Називається інтервальним оператором Ньютона.

Припустимо, на деякий час, що , так що являється кінцевим оператором. Так як, будь який нуль функції на x лежить також і в , то доречно взяти в якості наступного більш точного наближення до розв'язання перетину

яке виявиться, принаймні, не гірше x.

Далі, якщо , ми можемо надати сенс оператору Ньютона, скориставшись інтервальною арифметикою. В дійсності ця модифікація навіть підсилить інтервальний метод Ньютона, так як ми отримаємо можливість відокремлювати розв'язок один від одного: в результаті виконання кроку інтервального методу Ньютона при , отримаємо, як правило, два непересічних інтервали.