Метрика простору лінійного функціонального інтервалу. Ширина лінійного функціонального інтервалу.

Якщо у просторі LI(X) ввести метрику, то цим ми зробимо його топологічним простором.

Зауваження 1. Нехай ₁, M ₁ — множини точок кінців інтервалів інтервалу X, на яких графіки нижньої та верхньої обмежуючих функцій l ₁(x), ₁(x), відповідно, лінійного обмежника L₁(X) кожен є відрізком лише однієї якоїсь прямої лінії, а , — множини точок кінців інтервалів інтервалу X такої ж природи лише для нижньої та верхньої обмежуючих функцій l ₂(x), ₂(x), відпові- дно, лінійного обмежника L₂(X). Утворимо множину точок

M= M _{1 1} M_{2 2}

та множини , M точок граничного лінійного обмежника L(X).

Означення 1. Шириною лінійного функціонального інтервалу обмежника L(X) = {X, (x), (x)} називається число

,

Де множина точок M визначається аналогічно як у зауваженні 1.

Очевидно, що якщо L₁(X), L₂(X) LI(X), то

(L₁(X) L₂(X)) ⇔ ).

Означення 2. Функціональною, або параметризованою шириною лінійного інтервального обмежника L(X) {X, l (x), (x)} називаємо невід’ємнозначну функцію , яка при кожному фіксованому значенні аргументу є шириною інтервалу [ l ( ), ( )} ] — перерізу цього лінійного інтервального обмежника при значенні x= . З цього означення та означення 1 випливає, що = (x)- l (x).