Поняття лінійного функціонального інтервалу

Дві функції f₁(x) і f₂(x) такі, що f₁(x) f(x) f₂(x) при всіх значеннях аргументу x ∈ X називаються мінорантою та мажорантою функції f(x) на інтервалі X, відповідно.

Означення 1. Функціональним інтервалом, функціональним обмежником на інтервалі X будемо називати параметризовану множину інтервалів [f₁(x), f₂(x)], де f₁(x) f₂(x), а параметром є аргумент x ∈ X, і будемо позначати його відповідно F(X), або {X, f₁(x), f₂(x)}.

Для спрощення, в тих випадках, коли це не породжуватиме непорозуміння, не будемо наголошувати на тому, що функціональний інтервал визначений на відповідному інтервалі X і подаватимемо його у вигляді [f₁(x), f₂(x)].

Означення 2. Перерізом функціонального обмежника {X, f₁(x), f₂(x)} в точці називатимемо інтервал [f₁( ), f₂( )].

Означення 3. Реалізацією функціонального інтервалу {X, f₁(x), f₂(x)} називатимемо кожну функцію f(x), графік якої на інтервалі X належить цьому обмежнику, тобто f₁(x) f(x) f₂(x), а функції f₁(x), f₂(x) - обмежувальними функціями.

Використавши арифметичні операції над функціональними інтервалами, тип обмежувальних функцій результату може змінюватися, а зі збільшенням кількості дій їхні аналітичні вирази стрімко ускладнюються. Крім того, зазвичай проміжки знакосталості обмежувальних функцій різні, щоб їх знайти, треба розв’язувати трансцендентні рівняння, що також створює додаткові труднощі. Тому зосередимо основну увагу на функціональних інтервалах, у яких всі обмежувальні функції кусково-лінійні.

Означення 4. Функціональні інтервали, в яких усі обмежувальні функції кусково-лінійні називаються лінійними функціональними інтервалами, лінійними функціональними обмежниками, або лінійними інтервальними обмежниками.

Лінійний інтервальний обмежник заданої функції f(x), як і кожен її функціональний інтервальний обмежник та й її інтервальне розширення, визначений неоднозначно. Наприклад, якщо функція f(x) монотонна й опукла, то для побудови його з лінійними обмежувальними функціями можна використати дотичну в кінці або в середині інтервалу X, та січну.

Рис.1. Лінійні інтервальні обмежники функцій y = x²+x+3 та y = ln(x +1)+2 на інтервалі X=[− 0.5, 1.5] побудовані за різними алгоритмами

Лінійний інтервальний обмежник позначається L(X), або {X, (x), (x)}. Якщо l(x) = k x + m, l (x) = x + , де k, m, , – константи, то відповідний лінійний інтервальний обмежник {X, k x + m, x + } називатимемо елементарним лінійним інтервальним обмежником. Лінійний інтервальний обмежник {X, l(x), l(x)} називається виродженим. Обмежники вигляду {X, c, c}, де c – константа, називатимемо сталими. Очевидно, що сталі обмежники в арифметиці лінійних інтервальних обмежників відіграють роль констант.