Линейных алгебраических уравнений

Квадратная матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0. В противном случае (т.е. когда определитель матрицы равен 0) матрица называется вырожденной.

Матрица называется обратной матрице , если для нее выполняется условие

.

где Е − единичная матрица того же порядка, что и матрица .

Для того чтобы матрица А имела обратную матрицу необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Рассмотрим процесс построения обратной матрицы для матрицы 3-го порядка:

.

Вычисляем определитель det A этой матрицы. Он должен быть отличен от нуля. Затем находим алгебраические дополнения элементов матрицы А (А ₁₁, А ₁₂,..., А _nn). Из них строим присоединенную матрицу по следующему правилу: алгебраические дополнения элементов строк матрицы А составляют соответствующие столбцы матрицы :

.

Обратную матрицу получаем по формуле:

.

Для матрицы А размерности обратная матрица имеет вид:

Рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

Построим следующие матрицы:

, , .

Здесь А − основная матрица системы, X − матрица-столбец неизвестных, В − матрица-столбец свободных членов уравнений системы.

Тогда, используя операцию умножения матриц, данную систему можно представить в матричном виде

Пусть , тогда для матрицы существует обратная матрица .

Для нахождения элементов неизвестной матрицы умножим слева полученное матричное уравнение на матрицу :

Так как , а , то получим