решения систем линейных алгебраических уравнений

Основная идея метода Гаусса − последовательное исключение неизвестных.

Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду.

На втором этапе (обратный ход) идет последовательное определение неизвестных из ступенчатой системы.

На практике удобнее работать не с системой, а с ее расширенной матрицей, выполняя элементарные преобразования над ее строками.

Сущность метода проиллюстрируем на примере решения системы из трех уравнений с тремя неизвестными.

Таким образом, если число уравнений в полученной ступенчатой системе равно числу неизвестных, то система имеет единственное решение. Все неизвестные в этом случае определяются последовательно, начиная с последнего.

Если же число уравнений в ступенчатой системе меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечное множество решений. В этом случае неизвестные x ₁, x ₂, …, x_n могут быть выражены через остальные неизвестные.

Система не имеет решений, если одно из уравнений имеет отличный от нуля свободный член, а все коэффициенты в левой части равны нулю, т. е. если при преобразованиях получаются уравнения вида

где .

Этому случаю соответствует появление в ступенчатой матрице строки вида

.