Теоретические сведения к первому заданию

Задание охватывает вопросы кинематики и динамики движения материальной точки, предусматривает определение характеристик движения путем интегрирования [3] дифференциальных уравнений ее движения и использования теоремы об изменении количества движения [1].

В задании поступательное движение автомобиля рассматривается как движение материальной точки. Ускорение материальной точки массы m, движущейся под действием приложенных к ней сил , , … определяется с помощью основного закона динамики в сочетании с законом о независимости действия сил:

m = ₁+ ₂+…+ _{n .}

m =∑ F_kx, mÿ =∑ F_k, m =∑ F_kz,

где , ÿ, - вторые производные по времени координат материальной точки (проекции ускорения ); F_kx, F_ky, F_kz – проекции действующих сил на соответствующие оси декартовых координат.

Для определения закона движения этой точки следует проинтегрировать данную систему уравнений. При интегрировании дифференциальных уравнений в общем случае появляются шесть произвольных постоянных С ₁, С ₂, С ₃, С ₄, С ₅ и С ₆, которые определяются по начальным условиям. Под начальными условиями движения точки понимают значения координат и проекций скоростей точки в начальный момент движения, т.е. при t =0:

x=x₀, = 𝑣 _x₀ = ₀,

y=y₀, =𝑣 _y₀ = ₀,

z=z₀, =𝑣 _z₀ = ₀.

В результате подстановки начальных условий движения в первые и вторые интегралы системы уравнений (1.1) образуется система шести уравнений для определения неизвестных С ₁, С ₂, С ₃, С ₄, С ₅ и С ₆.

В задании предусматривается движение тела (материальной точки) по прямолинейным участкам трассы, поэтому на каждом участке будет лишь одно дифференциальное уравнение движения и два начальных условия.

При выполнении задания используется также теорема об изменении количества движения материальной точки.

Изменение количества движения материальной точки за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов сил, приложенных к точке за тот же промежуток времени:

- =∑ ,

где – количество движения материальной точки, соответствующее начальному моменту времени t ₀; – количество движения материальной точки, соответствующее конечному моменту времени t ₁.

Та же теорема в проекциях на оси декартовых координат имеет вид:

m 𝑣 _x₁ - m 𝑣 _x₀ =∑ S_kx,

m 𝑣 _y₁ - m 𝑣 _y₀ =∑ S_ky,

m 𝑣 _z₁ - m 𝑣 _z₀ =∑ S_kz

(здесь 𝑣 _x₀ , 𝑣 _y₀ , 𝑣 _z₀ - проекции скорости точки при t = t₀; 𝑣 _x₁ , 𝑣 _y₁ , 𝑣 _z₁ – проекции скорости точки при t = t₁; S_kx, S_ky, S_kz – проекции импульса силы на координатные оси).

Импульс силы за тот же промежуток времени выражается формулой:

В задании действующие силы постоянны, поэтому

_к = (t ₁- t ₀)= Δ t.

Или в проекциях на оси декартовых координат:

S_kx = F _kxΔ t,

S_ky = F _kyΔ t,

S_kz = F _kzΔ t.

Рекомендуется выполнять задание в следующем порядке:

1. Составить дифференциальное уравнение движения автомобиля (материальной точки) на участке АВ. Для этого необходимо выбрать координатные оси, поместив их начало в начальном положении материальной точки (одну из координатных осей следует проводить вдоль линии движения точки). Необходимо изобразить движущийся автомобиль в произвольный момент времени t и показать на рисунке все действующие на него силы, в том числе и реакции связей. Далее найти суммы проекций всех сил на выбранные оси координат и подставить эти суммы в правые части соответствующих уравнений (1.1).

2. Проинтегрировать полученные дифференциальные уравнения.

3. Установить начальные условия движения автомобиля и по ним определить постоянные интегрирования.

4. Из полученных в результате интегрирования уравнений определить искомые величины, используя условия их сопряженности.

5. Рассмотреть движение автомобиля на участке ВС, используя теорему об изменении количества движения материальной точки. Для этого поместить начало координатных осей в точке В и направить одну из осей вдоль линии движения. Изобразить движущийся автомобиль в произвольный момент времени t и показать на рисунке все действующие на него силы. Далее написать уравнение теоремы об изменении количества движения материальной точки и определить скорость точки С при известном значении времени движения по участку ВС.

6. Сказанные в п.1, 2 и 3 повторить на участке СD. Далее определить время движения автомобиля на участке СD, пользуясь условием, что в точке D скорость 𝑣 _D =0. Наконец, определить длину участка СD при найденном значении времени движения автомобиля на нем.

7. Пользуясь результатами расчетов, построить в соответствующих масштабах графики движения, скорости и ускорения автомобиля для каждого участка дороги.