Пример выполнения второго задания

Пример. Механическая система, состоящая из четырех тел (рис.2.6): грузов 1 и 4, блока 2 и катка 3, кинематически связанных между собой нерастяжимыми нитями, приходит в движение под действием сил тяжести из состояния покоя. Учитывая трение скольжения тела 4, трение качения тела 3, пренебрегая другими силами сопротивления и массами нитей, определить:

1. Скорость тела 1 в тот момент времени, когда пройденный им путь станет равным S ₁.

2. Ускорения тел, движущихся поступательно, и ускорения центров масс тел, совершающих плоскопараллельное движение, угловые ускорения тел, совершающих вращательное и плоскопараллельное движения.

3. Реакции внешних и внутренних связей системы.

4. Выбрав в качестве обобщенной координаты пройденный телом 1 путь S и составив уравнение Лагранжа второго рода, найти зависимости = f ₁ (t), = f ₂ (t) и S = f ₃ (t). Полученные зависимости изобразить графически в пределах движения заданной системы 0< S< 1, 2.

Необходимые для расчета данные следующие: R ₂= R ₃= R; r ₃ = r, m ₁= 3 m; m₂ = 2 m; m ₃= m ₄= m; i _{3 x} = ; f = 0, 1; δ = 0, 001м; R/r = 1, 5; m = 5 кг, r = 0, 25 м; S ₁=1, 2 м (здесь m ₁, m ₂, m ₃, m ₄ - массы соответственно тел 1, 2, 3 и 4; i ₃– радиус инерции тела 3 относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно плоскости движения; f – коэффициент трения скольжения; δ – коэффициент трения качения тела 3).

Рисунок 2.6 – Схема механической системы к выполнению второго задания

Решение

.

Вычислим кинетическую энергию Т системы, когда груз 1 пройдет путь, равный 1, 2 м. Груз 1 совершает поступательное движение, значит

Блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому

Т ₂ = J ₂ .

J ₂ = m₂ =2, 25 mr²,

а угловую скорость находим из равенства:

Т ₂ = m .

Т ₃ = m + J ₂ .

Поскольку соединительные нити предполагаются нерастяжимыми, скорость точки А катка 3 = . Точка р является мгновенным центром скоростей третьего тела, значит

𝜔 ₃ = = , _с= = .

J_с = m = 2mr².

Т ₃ = 0, 34 m .

Т ₄ = m₄ .

Из выражения (2.24) вытекает, что

Т ₄ = 0, 02 m .

Т = Т ₁ + Т ₂ + Т ₃ + Т ₄ = 2, 36 m .

A_G₁ = G ₁ S ₁ = m ₁ gS ₁ =3mgS ₁.

A_{G ₃} =- m₃gh_c= - mgS_c sin30°

(здесь h_c - смещение центра масс С катка по вертикали в заданном перемещении системы, S_c – путь, пройденный точкой С при этом смещении).

Путь, пройденный точкой С, можно определить из выражения (2.25), представив =3 ₁ /5 в виде _с=0, 6 ₁. Интегрируя это равенство, получим:

S_c = 0, 6 S ₁.

A_{G ₃} = -0, 3 mgS ₁.

𝜑 ₃ = .

M_c = δ N ₃ = δ m ₃ g cos30° = 0, 5 mg.

Тогда с учетом выражений (2.35) и (2.36) получим:

Работа силы тяжести груза 4

где S ₄=0, 2 S ₁ (путь, пройденный телом 4, найдено из выражения (2.29) путем интегрирования).

Работу силы трения скольжения груза 4 определяем по формуле (2.6):

Наконец, складывая равенства (2.32), (2.34), (2.37), (2.38) и (2.39), получим:

Подставляя выражения (2.31) и (2.40) в (2.18), после преобразований имеем:

Далее, применяя общее уравнение динамики (2.8), найдем ускорения тел, движущихся поступательно и ускорения центров масс тел, совершающих плоскопараллельное движение, угловые ускорения тел, совершающих вращательное и плоскопараллельное движения.

В соответствии с этим уравнением изобразим на схеме системы активные силы и силы инерции (рисунок 2.7).

Рисунок 2.7 – Схема механической системы к выполнению п.2 задания 2

= m ₁ a ₁ = 3 ma ₁,

линия действия которой проходит через центр масс этого тела.

Блок 2 вращается вокруг неподвижной оси, поэтому силы инерции точек этого тела приводятся согласно выражению (2.10) к паре сил с моментом, абсолютная величина которого = J ₂ ℇ ₂. Здесь момент инерции J_х определяется равенством (2.20), а угловое ускорение ℇ ₂ находится из (2.21) дифференцированием по времени:

ℇ ₂= .

= 1, 5 ma ₁r.

Согласно выражений (2.11) и (2.12) элементарные силы инерции катка 3 приводятся в его центре масс к силе = m₃a_с и паре сил с моментом, равным по абсолютной величине = J_сℇ ₃. Момент инерции J_с найден раньше в выражении (2.26), а ускорение a_с и угловое ускорение ℇ ₃ определяются из (2.25) дифференцированием по времени:

ℇ ₃ = , a_с = .

= 0, 6 ma ₁, = 0, 8 ma ₁ r.

= m ₄ a ₄ = 0, 2 ma ₁,

где a₄ =0, 2 a₁ (находится из (2.29) дифференцированием по времени).

Теперь дадим системе возможное перемещение и составим общее уравнение динамики согласно выражению (2.16):

Так как наложенные на механическую систему связи являются стационарными, удерживающими и голономными, все возможные перемещения системы выражаются через возможное перемещение δ S₁ соответственно:

δ S ₄ = δ S ₁ = = 0, 2 δ S ₁.

(2, 6-0, 1 f -0, 2 ) g - 4, 72 a ₁ = 0.

Откуда

a₁ = = = 5, 365 м/с².

Теперь, используя полученные выше зависимости, находим:

a_c = 0, 6 a ₁ = 0, 6∙ 5, 365 = 3, 219 м/с²,

a ₄ = 0, 2 a ₁ = 0, 2∙ 5, 365 = 1, 073 м/с²,

ℇ ₂ = = = 14, 307 1/с²,

ℇ ₃ = 0, 4 = 0, 4 = 8, 584 1/с².

Для выполнения пункта 3 задания изобразим по отдельности тела механической системы (рисунок 2.8), приложив к ним силы тяжести, реакции внешних и внутренних связей и силы инерции.

F_ky = T ₁₂ + - G ₁ = 0.

Отсюда с учетом G ₁= m ₁ g =3 mg и равенства (2.41)

T ₁₂ = G ₁- = 3 m (g - a ₁) =3∙ 5(9, 81-5, 365) = 66, 675 H.

а	б
в	г

Рисунок 2.8 – Схема сил в механической системе к выполнению п.3 задания 2

F_ky = N _{2 y} - T ₂₃sin30°- G ₂- T ₂₁ = 0,

Из (2.51), учитывая, что T ₂₁= T ₁₂, а момент найден в (2.42), следует

T ₂₃ = T ₃₂ = T ₁₂- = T ₁₂- ma ₁ = 66, 675-5∙ 5, 365 = 39, 852 Н.

Тогда из (2.49) и (2.50) следует:

N _{2 x} = T ₂₃ cos30°=39, 852∙ cos30 ° =34, 128 Н,

N _{2 y} = T ₂₃sin30 ° + G ₂ +T ₁₂ = 39, 852∙ 0, 5+98, 1+66, 675 = 184, 701 Н.

Следовательно

N ₂ = 187, 827 Н.

m_p ( _k)= + M_c + T ₃₄(R ₃- r ₃)+ + G ₃ +sin30 ° - T ₃₂(R ₃+ r ₃)= 0.

Из (2.54) с учетом полученных ранее результатов следует:

T₃₄ = =

= = 34, 129 Н,

где R ₃ = R= 1, 5 r = 1, 5∙ 0, 25 = 0, 375м;

= 0, 8 ma₁r = 0, 8∙ 5∙ 5, 365∙ 0, 25 = 5, 365 Нм;

= 0, 5 ∙ δ mg = 0, 5 ∙ 0, 001∙ 5∙ 9, 81 = 0, 042 Нм;

0, 6 ma ₁ = 0, 6∙ 5∙ 5, 365 = 16, 095 Н;

G ₃ = m ₃ g = mg = 5∙ 9, 81 = 49, 05 H.

Теперь из (2.52) можно определить силу трения скольжения:

F ₃ = + T ₃₄+ G ₃sin30°- Т ₂₃ = 16, 095+34, 129+49, 06∙ 0, 5-39, 852=60, 014 Н, а из (2.53)

N ₃ = G₃ cos30° = 49, 05∙ 0, 866 = 42, 5 Н.

Заметим, соотношение (2.52) было использовано ранее при определении момента сил трения качения М ₃.

Уравнения равновесия системы сил, приложенных к грузу 4:

В уравнении (2.55) все величины уже известны, поэтому оно может служить для проверки проведенных расчетов. Подставляя в него найденные ранее величины, получим:

34, 129-5, 4-4, 2-5∙ 9, 81∙ 0, 5≈ 0.

Заметим, равенство (2.56) уже было использовано ранее при определении работы сил трения скольжения A _{F 4}.

Наконец, приступим к выполнению пункта 4 задания. Выберем в качестве обобщенной координаты пройденный телом 1 путь S (рисунок 2.7), то есть S=q. Тогда уравнение Лагранжа второго рода будет иметь вид (2.17).

T= 2, 36 m ^{2 2} .

δ А_к = G ₁∙ δ S ₁ – G ₃ δ S_c sin30 ° - M _c∙ δ 𝜑 ₃- G ₄ δ S ₁∙ sin30°- F ₄ δ S ₄.

Заметим, здесь силы инерции и моменты сил инерции не отражены, так как обобщенные силы инерции уже выражены через кинетическую энергию системы в уравнении Лагранжа второго рода.

С учетом выражений (2.46), выделив в выражении (2.58) коэффициент при δ S ₁, получим:

Q = G ₁-0, 6 G ₃sin30°-0, 4 M ₃/ r -0, 2 G ₄sin30°-0, 2 F.

Q =2, 6 mg.

4, 72 m =2, 6 mg.

₀

S =0, 275 gt² .

Приняв в выражении (2.62) S = S₁ =1, 2 м, находим время движения системы t =0, 67 с.

В соответствии с зависимостями (2.60), (2.61) и (2.62) формируем массивы данных для построения графиков = f ₁(t), = f ₂(t) и S = f ₃(t) (таблица 2.3).

Таблица 2.3 – Массив данных для построения графиков движения системы

Время t, c		0, 1	0, 2	0, 3	0, 4	0, 5	0, 6	0, 67
Ускорение , м/с2	5, 39	5, 39	5, 39	5, 39	5, 39	5, 39	5, 39	5, 39
Скорость , м/с		0, 539	1, 078	1, 617	2, 156	2, 695	3, 234	3, 611
Перемещение S, м		0, 027	0, 108	0, 242	0, 431	0, 674	0, 970	1, 200

На рисунке 2.9 показаны построенные по этому массиву графики = f ₁(t), = f ₂(t) и S = f ₃(t).

Рисунок 2.9 – Графики движения = f ₁(t), = f ₂(t) и S = f ₃(t) исследуемой механической системы

Контрольные вопросы для самопроверки при подготовке к защите расчетно-графической работы

Вопросы к первому заданию

1. Что называется материальной точкой?

2. О чем гласит второй закон динамики?

3. Каковы дифференциальные уравнения движения точки в декартовых координатах?

4. Каковы уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника?

5. В чем заключается первая задача динамики?

6. В чем заключается вторая задача динамики?

7. Как определяются значения произвольных постоянных, появляющихся при интегрировании дифференциальных уравнений движения материальной точки?

8. Что называется количеством движения материальной точки?

9. Что называется элементарным импульсом силы?

10. Как направлены вектора количества движения и импульса силы?

11. Каковы размерности скорости и ускорения в системе СИ?

12. Каковы размерности количества движения и импульса силы в системе СИ?

13. В чем заключается теорема об изменении количества движения материальной точки?

14. При каком условии материальная точка при действии на нее нескольких сил будет двигаться прямолинейно равномерно?

15. При каком условии материальная точка будет двигаться ускоренно (замедленно)?

Вопросы ко второму заданию

1. Как определяется кинетическая энергия твердого тела при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях?

2. Как определяется кинетическая энергия механической системы?

3. Как определить элементарную работу силы?

4. Как выражается работа силы на конечном перемещении?

5. В чем заключается теорема об изменении кинетической энергии системы?

6. Как определяется сила инерции?

7. Как приводятся силы инерции к заданному центру при поступательном, вращательном и плоскопараллельном движениях твердого тела?

8. В чем заключается принцип Даламбера для механической системы?

9. В чем заключается принцип возможных перемещений?

10. Каким образом гласит общее уравнение динамики?

11. Что подразумевается под обобщенными координатами системы?

12. Как вычисляются обобщенные силы системы?

13. Каковы уравнения Лагранжа второго рода?

Список рекомендуемой литературы

1. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст]: Учеб. для вузов. – 10-е изд., перераб. и доп. /Тарг С.М. – М.: Высш. шк., 1986.- 416 с.: ил.

2. Лачуга, Ю.Ф. Теоретическая механика [Текст]: Учеб. пособие для студентов высш. учеб. заведений /Лачуга Ю.Ф., Ксендзов В.А. – 3-е изд., перераб. и доп.- М.: Колос, 2010.- 576 с.: ил.

3. Сборник заданий для курсовых работ по теоретической механике [Текст]: Учеб. пособие для технических вузов /Яблонский А.А. [и др.]: под ред. А.А.Яблонского.- М.: Интеграл-Пресс, 2005.- 384с.

4. Бать, М.И. Теоретическая механика в примерах и задачах [Текст]: в 2 т. /Бать М.И. [и др.]. Том 1: Статика и кинематика. Том 2: Динамика. – 9-е изд., стер.- Санкт-Петербург: Из-во «Лань», 2009.-1312 с.

Оглавление

Сборник заданий

и методическое руководство к расчетно-графической работе по курсу теоретической механики. Часть 2 (Сост. С.С.Алатырев, И.С.Кручинкина)

Учебно-методическое пособие

Формат 60 х 84/16. Бумага писчая. Печать оперативная.

Усл. печ. л. 3, 4. Тираж 100 экз. Заказ №

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Чувашская государственная сельскохозяйственная академия»