![]() Главная страница Случайная страница КАТЕГОРИИ: АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника |
Методы исследования нелинейных систем
2.7.3.1. Точные методы исследования нелинейных систем
1. Прямой метод Ляпунова. В его основе лежит теорема Ляпунова об устойчивости нелинейных систем. В качестве аппарата исследования используется функция Ляпунова, представляющая собой знакоопределённую функцию координат системы, имеющую также знакоопределённую производную во времени. Применение метода ограничивается его сложностью. 2. Метод Попова (румынский учёный) более прост, но пригоден только для некоторых частных случаев. 3. Метод, основанный на кусочно-линейной аппроксимации. Характеристики отдельных нелинейных звеньев разбивают на ряд линейных участков, в пределах которых задача оказывается линейной и может быть решена достаточно просто. Метод может применяться, если число участков, на которые разбивается нелинейная характеристика, невелико (релейные характеристики). При большом количестве участков – сложно. Решение возможно только с помощью ЭВМ. 4. Метод фазового пространства. Позволяет исследовать системы с нелинейностями произвольного вида, а также с несколькими нелинейностями. При этом в фазовом пространстве строят так называемый фазовый портрет процессов, протекающих в нелинейной системе. По виду фазового портрета можно судить об устойчивости, возможности возникновения автоколебаний, точности в установившемся режиме. Однако размерность фазового пространства равна порядку дифференциального уравнения нелинейной системы. Применение для систем выше второго порядка практически невозможно. 5. Для анализа случайных процессов можно применять математический аппарат теории Марковских случайных процессов. Однако сложность метода и возможность решения уравнения Фоккера-Планка, которое требуется при анализе только для уравнений первого и в некоторых случаях второго порядка, ограничивает его использование. Таким образом, точные методы анализа нелинейных систем хотя и позволяют получить точные, корректные результаты, однако очень сложны, что ограничивает их практическое применение. Эти методы важны с чисто научной, познавательной, исследовательской точки зрения, а поэтому их можно отнести к чисто академическим методам, практическое применение которых к реальным сложным системам не имеет смысла. 2.7.3.2. Приближённые методы исследования нелинейных систем
Сложность и ограниченность практического применения точных методов анализа нелинейных систем привели к необходимости разработки приближенных более простых методов исследования этих систем. Приближенные методы позволяют во многих практических случаях достаточно просто получить прозрачные и легко обозримые результаты анализа нелинейных систем. К приближенным методам относятся: 1. Метод гармонической линеаризации, основанный на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, причём эквивалентность достигается для некоторого движения системы, близкого к гармоническому. Это позволяет достаточно просто исследовать возможность возникновения в системе управления автоколебаний. Однако метод может быть применён и для исследования переходных процессов нелинейных систем. 2. Метод статистической линеаризации также основан на замене нелинейного элемента его линейным эквивалентом, но при движении системы под воздействием случайных возмущений. Метод позволяет сравнительно просто исследовать поведение нелинейной системы при случайных воздействиях и найти её некоторые статистические характеристики.
Метод гармонической линеаризации Применим к нелинейным системам, описываемым дифференциальным уравнением любого порядка. Рассмотрим его только применительно к расчёту автоколебаний в системе автоматического управления. Разобьем замкнутую систему управления на линейную и нелинейную части (рис. 7.2) с передаточными функциями Для линейного звена:
Нелинейное звено может иметь нелинейные зависимости вида:
и др. Ограничимся зависимостью вида:
Рис. 7.2. К методу гармонической линеаризации
Поставим задачу исследования автоколебаний в данной нелинейной системе. Строго говоря, автоколебания будут несинусоидальными, однако будем считать, что для переменной x они близки к гармонической функции. Это оправдывается тем, что линейная часть (7.1), как правило, представляет собой фильтр нижних частот (ФНЧ). Поэтому линейная часть будет задерживать высшие гармоники, содержащиеся в переменной y. Данное предположение носит название гипотезы фильтра. В противном случае, если линейная часть представляет собой фильтр высоких частот (ФВЧ), то метод гармонической линеаризации может дать ошибочные результаты. Пусть Положим, что в искомых колебаниях отсутствует постоянная составляющая, т.е. Это условие соблюдается всегда, когда нелинейная характеристика симметрична относительно начала координат и отсутствует приложенное к нелинейному звену внешнее воздействие. Мы приняли, что В записанном разложении произведём замену
где
Таким образом, нелинейное уравнение (7.2) заменяется приближённым уравнением для первой гармоники (7.3), похожим на линейное уравнение. Особенностью его является то, что коэффициенты уравнения зависят от искомой амплитуды автоколебаний. В общем случае при более сложной зависимости (7.2) эти коэффициенты будут зависеть и от амплитуды, и от частоты. Проделанная операция замены нелинейного уравнения приближённым линейным носит название гармонической линеаризации, а коэффициенты (7.4), (7.5) называют гармоническими коэффициентами передачи нелинейного звена. Из (7.3) следует, что для рассматриваемой системы передаточная функция нелинейного звена: Учитывая (7.1) и (7.3), получаем передаточную функцию разомкнутой системы:
и характеристическое уравнение замкнутой системы:
Подставляя
или
Модуль эквивалентной передаточной функции нелинейного звена определяется формулой:
и равен отношению амплитуды первой гармоники на его выходе к амплитуде входной величены. Аргумент частотной передаточной функции нелинейного звена равен:
Можно показать, что для нелинейных звеньев с однозначными и симметричными относительно начала координат характеристиками, не имеющими гистерезистых петель, Часто используется величина, обратная эквивалентной передаточной функции нелинейного звена:
называемая эквивалентным импедансом нелинейного звена. Использование её удобно при расчёте автоколебаний по критерию Найквиста. В качестве примера использования метода гармонической линеаризации рассмотрим релейную характеристику трехпозиционного реле без петли гистерезиса (рис. 7.3). Как видно из рис. 7.3, статическая характеристика симметрична относительно начала координат, следовательно,
Рис. 7.3. Статическая характеристика трехпозиционного реле без петли гистерезиса
Как видно из рис. 7.4, при Фазовый угол Учитывая симметрию подынтегральной функции и в соответствии с (7.4), имеем:
Т.к.
Аналогичным образом можно произвести гармоническую линеаризацию других нелинейных звеньев. Результаты линеаризации приведены в [3, стр. 157…158], [8, стр. 538…587]. Как отмечалось выше, метод гармонической линеаризации удобен для анализа возможности появления в нелинейной системе режима автоколебаний и определения его параметров. Для расчёта автоколебаний используют различные критерии устойчивости. Наиболее просто и наглядно использование критерия Найквиста. Особенно удобно использование критерия Найквиста в случае, когда имеется нелинейная зависимость вида
Рис. 7.4. Пример линеаризации релейной характеристики
Условия возникновения автоколебаний: появление в решении (7.7) пары чисто мнимых корней, а все остальные корни лежат в левой полуплоскости (связь с точкой –1, j0). Приравняем (7.7) к минус единице:
Для решения (7.12) задаёмся различными значениями Частота
Рис. 7.5. Условие возникновения автоколебаний
Запишем уравнение (7.12) в виде:
Уравнение (7.13) просто решается графически. Для этой цели необходимо отдельно построить АФХ Однако найденный периодический режим соответствует автоколебаниям только тогда, когда он будет устойчив в том смысле, что этот режим может существовать в системе неограниченно длительное время. Устойчивость периодического режима можно определить следующим образом. Предположим, что линейная часть системы в разомкнутом состоянии устойчива или нейтральна. Дадим амплитуде А некоторое положительное приращение
Рис. 7.6. Условие возникновения автоколебаний при нелинейной зависимости вида
Следовательно, всякое случайное отклонение А так изменяет систему, что амплитуда восстанавливает своё значение. Это соответствует устойчивости периодического режима, который соответствует автоколебаниям. Критерий устойчивости периодического режима здесь сводится к тому, чтобы часть кривой При пересечении АФХ разомкнутой системы отрицательной части оси вещественных значений два раза возможно прохождение АФХ через точку (-1, j0) при двух значениях Две точки пересечения соответствуют двум возможным периодическим решениям с параметрами
В более сложных случаях, когда, допустим, При отсутствии в системе возможных периодических режимов, близких к гармоническим, что обнаруживается изложенным расчётом, существует много различных вариантов поведения системы. Однако в системах, линейная часть которых обладает свойством подавления высших гармоник, особенно в таких системах, где при одних параметрах имеется периодическое решение Метод статистической линеаризации нелинейных характеристик
Для оценки статистических характеристик нелинейных систем можно использовать метод статистической линеаризации, основанный на замене нелинейной характеристики линейной, которая в известном смысле статистики равноценна исходной нелинейной характеристике. Замена нелинейного преобразования линейным является приближённой и может быть справедливой лишь в некоторых отношениях. Поэтому понятие статистической эквивалентности, на основе которого производится такая замена, не является однозначным, и можно сформулировать различные критерии статистической эквивалентности нелинейного и заменяющего его линейного преобразований. В случае когда линеаризации подвергается нелинейная безынерционная зависимость вида (7.2) - первый требует равенства математических ожиданий и дисперсий процессов
- второй требует минимизации среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного элементов. Рассмотрим линеаризацию для случая применения первого критерия. Заменим нелинейную зависимость (7.2) линейной характеристикой По выбранному критерию коэффициенты
Из (7.15) следует, что статистическая равноценность имеет место, если
причём знак Величины
где Для второго критерия коэффициенты статистической линеаризации выбираются таким образом, чтобы обеспечить минимум среднего квадрата разности процессов на выходе нелинейного и линеаризованного звена, т.е. обеспечить выполнение равенства (с учётом, что Приравняв к нулю производные от последнего выражения по
Тогда коэффициенты статистической линеаризации вычисляются по формулам:
Сравнивая (7.18) с (7.16), видим, что статистическая линеаризация из условия минимума дисперсии ошибки (второй критерий) даёт то же значение коэффициента Коэффициенты статистической линеаризации, как следует из (7.16), (7.17) и (7.18), зависят не только от характеристик нелинейного звена, но и от закона распределения сигнала на его входе. Во многих практических случаях закон распределения этой случайной величины может быть принят гауссовским (нормальным), описываемым выражением
Это объясняется тем, что нелинейные звенья в системах управления соединяются последовательно с линейными инерционными элементами, законы распределения выходных сигналов которых близки к гауссовским при любых законах распределения их входных сигналов. Чем более инерционна система, тем ближе закон распределения сигнала на выходе к гауссовскому, т.е. инерционные устройства системы приводят к восстановлению гауссовского распределения, нарушаемого нелинейными звеньями. Кроме этого, изменение закона распределения в широких пределах малого влияет на коэффициенты статистической линеаризации. Поэтому полагают, что сигналы на входе нелинейных элементов распределены по гауссовскому закону. При этом коэффициенты
Применение метода статистической линеаризации для анализа стационарных режимов и срыва слежения
Возможность замены характеристик нелинейных звеньев линейными зависимостями позволяет при анализе нелинейных систем использовать методы, разработанные для линейных систем. Применим метод статистической линеаризации для анализа стационарных режимов в системе, изображённой на рис. 7.9, где F(e) – статическая характеристика нелинейного элемента (дискриминатора); W(p) – передаточная функция линейной части системы.
Задача анализа заключается в оценке влияния характеристик дискриминатора на точность системы и определении условий, при которых нарушается нормальная работа системы и происходит срыв слежения. При анализе точности работы относительно неслучайной составляющей сигнала g(t) нелинейный элемент F(e) в соответствии с методом статистической линеаризации заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи где
Поэтому окончательно можно записать:
При анализе системы относительно случайной составляющей f(t) (помехи) нелинейный элемент заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи
где Оба уравнения (7.19) и (7.20) зависят от Пример нахождения
Вопросы для самопроверки 1. Назовите приближенные методы анализа нелинейных систем. 2. В чем заключается сущность метода гармонической линеаризации? 3. В чем заключается сущность метода статистической линеаризации? 4. Для каких нелинейных звеньев q¢ (a) = 0? 5. Какие критерии статистической эквивалентности вы знаете?
|