Главная страница Случайная страница
КАТЕГОРИИ:
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатикаИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханикаОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторикаСоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансыХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника
Z-преобразование
|
|
Мощным математическим аппаратом исследования дискретных систем и решения разностных уравнений является Z-преобразование. Оно играет ту же роль, что и преобразование Лапласа при исследовании непрерывных систем и решении дифференциальных уравнений.
Для некоторой решётчатой функции 
, определённой при 
, Z-преобразование записывают через дискретное преобразование Лапласа
с использованием аргумента 
:
.
Для смещённых решетчатых функций вводят модифицированное Z-преобразование:
.
Отметим, что в Z-преобразованиях вводится единичная импульсная решетчатая функция:
играющая при исследовании дискретных систем такую же роль, как 
-функция при исследовании непрерывных систем.
Так же как при использовании преобразований Лапласа, практическая работа с Z-преобразованиями упрощается с применением таблиц таких преобразований для часто встречающихся функций, часть из которых приведена в табл. 8.1 [1], где 
Свойства (основные) Z-преобразования:
1. Свойство линейности:
2. Теорема запаздывания:
3. Начальное значение оригинала:
4. Конечное значение оригинала:
5. Изображение свертки двух решетчатых функций:
Обратный переход от изображения F(z) к оригиналу в символической форме записывают как обратное Z-преобразование:
.
Таблица 8.1
| 
| 
| |
| не существует | ||
| не существует | ||
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
| d = e-aT |
| c = e-gT | |||
| 
| 
| |
| 
| 
| |
| 
| 
|
Эта задача не представляет трудностей, если изображение является табличным. При более сложном изображении оно обычно заменяется суммой дробей первой степени.
Например, если изображение есть отношение двух многочленов:
причём степень числителя не больше степени знаменателя, а корни знаменателя простые, то его можно записать в виде:
где 
- производная 
по Z;
Zi - корни знаменателя (i = 1, 2, …e).
Отсюда, воспользовавшись табл. 8.1, получим:
Для нахождения оригинала часто применяют также разложение в ряд Лорана:
Т.к. по определению Z-преобразования:
то коэффициенты ряда Лорана совпадают с соответствующими значениями оригинала, т.е. 
и т.д. Наиболее удобным приёмом разложения дробно-рациональных функций в ряд Лорана является деление числителя на знаменатель.