Шумы квантования по уровню

В отличие от импульсных систем цифровые системы управления не являются линейными импульсными фильтрами даже при малых рассогласованиях, поскольку представление сигналов в цифровой форме связано с их квантованием по уровню.

Поясним это на примере аналого-цифрового преобразователя (АЦП), осуществляющего периодическое преобразование аналогового напряжения в цифровую форму. Квантование по уровню состоит в округлении значений аналогового напряжения в момент времени nT до величины, кратной шагу квантования по уровню. Очевидно, что округление до величины, кратной шагу квантования, обусловливает, во-первых, наличие зоны нечувствительности при каждом уровне, а во-вторых, скачок по уровню при достижении аналоговой величины значения, кратного шагу квантования. Следовательно, в силу сказанного операция квантования по уровню и замены квантованных величин числами описывается явно нелинейной функцией, графическое изображение которой есть статическая характеристика АЦП. Статическая характеристика входного АЦП показана на рис. 8.6, где - цена единицы его младшего разряда, - исходное непрерывное значение входной величины, - её цифровое представление. Как видно из рис. 8.6, статическая характеристика АЦП имеет явно нелинейный характер, который обусловлен квантованием по уровню. Очевидно, что степень нелинейности определяется ценой единицы младшего разряда АЦП : чем больше величина , тем больше нелинейность статической характеристики. Очевидно также, что при статическая характеристика стремится приобрести линейный характер. Таким образом, степень нелинейности статической характеристики АЦП полностью определяется ценой его младшего разряда.

Число отличных от 0 уровней одной ветви рассматриваемой характеристики равно:

(8.25)

где - число двоичных разрядов АЦП (без учёта знакового разряда), - значение входной величины, которому соответствует максимальное возможное двоичное число на выходе АЦП.

Рис. 8.6. Статическая характеристика входного АЦП

При правильном построении АЦП величина должна совпадать с максимальным возможным значением входной величины. Если АЦП входит в контур замкнутой системы управления, то высокое качество её работы может быть достигнуто только при достаточно малой величине . В этом случае статическую характеристику АЦП можно линеаризовать, а погрешности от квантования по уровню учесть добавлением во входной сигнал шума квантования , не коррелированного с сигналом. Соответствующая эквивалентная схема показана на рис. 8.7, где - коэффициент передачи линеаризованного АЦП; - передаточная функция генератора шума квантования; g(t) - аналоговый входной сигнал; g[n] - решетчатая функция входного сигнала; g₀(t) - цифровое представление входного сигнала.

Рис. 8.7. Эквивалентная схема линеаризованного АЦП с добавлением шума квантования

Максимальное значение шума квантования составляет . Дисперсия этого шума, если допустить, что уровень его плотности вероятности в интервале от до постоянен, может быть вычислена по формуле

(8.26)

Корреляционная функция шума квантования затухает тем быстрее, чем меньше величина по сравнению со среднеквадратичным приращением (изменением) входного сигнала за время, равное периоду дискретности Т.

Можно показать, что при выполнении условия

(8.27)

где - среднеквадратическое значение производной входного воздействия, корреляционная функция отлична от нуля практически только при m = 0, т.к. уже при m = 1 её значение пренебрежимо мало и составляет .

Тогда для корреляционной функции шума квантования справедливо выражение:

(8.28)

где - единичная импульсная решетчатая функция.

Решетчатый случайный процесс с корреляционной функцией вида (8.28) называется дискретным белым шумом. Его спектральная плотность равна:

(см (8.18))

При переходе к и по формулам (8.19) и (8.21) спектральная плотность не изменится и с учётом (8.26) равна:

(8.29)

Таким образом, при выполнении условия (8.27) шум квантования по уровню во входном АЦП можно считать дискретным белым шумом с равномерной спектральной плоскостью.

Кроме АЦП в цифровой системе управления может присутствовать цифроаналоговый преобразователь (ЦАП), преобразующий последовательность чисел в непрерывное напряжение. Форма статической характеристики ЦАП совпадает с АЦП, но по оси абсцисс откладывается поступающая с ЦВМ цифровая величина, а по оси ординат – соответствующая её выходная величина аналогового сигнала, которая может принимать лишь дискретные значения, кратные цене единицы младшего разряда ЦАП . При линеаризации ЦАП он аналогично АЦП заменяется линейным звеном с коэффициентом передачи на выход которого добавляется дискретный белый шум с дисперсией .