Определение и условие устойчивости САР

По Ляпунову система устойчива, если по окончании воздействия она возвращается в исходное состояние [1]. Весовая функция системы, т.е. ее реакция на дельта-функцию δ (t) Дирака, в соответствии с приведенным определением может характеризовать устойчивость системы.

Поскольку переходная функция h(t) системы (ее реакция на ступенчатое воздействие) является интегралом от ее весовой функции, то и по переходной функции можно судить о факте и степени устойчивости САР:

САР устойчива, если ее переходная функция с течением времени монотонно или колебательно стремится к некоторому постоянному значению.

Рис.7.1. Переходные функции устойчивых САР, имеющих различную степень устойчивости

Переходная функция отображает поведение выходной величины САР при ее переходе из одного стационарного состояния, определяемого нулевым входным сигналом в отрицательные моменты времени, в другое стационарное состояние, определяемое единичной величиной входного сигнала. Замедленный переход (кривая 1 - красная) свидетельствует о чрезмерной инерционности САР, ее пониженном быстродействии. Если изменение параметров САР приближает ее к границе устойчивости, то переходная функция приобретает колебательный характер (кривые 3 и 4, зеленая и фиолетовая), причем амплитуда колебаний уменьшается тем медленнее, чем ближе САР находится к границе устойчивости. Оптимальная САР имеет переходную функцию апериодического вида (кривая 2 - синяя): имеется незначительная колебательность: амплитуда колебаний затухает быстрее, чем за период.

Рис.7.2. Переходные характеристики САР, находящейся на границе устойчивости, и неустойчивых САР

Отклик на ступенчатое воздействие САР, находящейся на границе устойчивости, представляет собой незатухающие колебания. Отклик неустойчивых САР на ступенчатое воздействие имеет колебательный характер, причем амплитуда колебаний возрастает с течением времени. Чем более неустойчива САР, тем быстрее возрастает амплитуда отклика. Скорость роста амплитуды целесообразно соотносить с периодом колебаний.

Примечание. В частном случае выходной сигнал неустойчивой системы может иметь не колебательный, а монотонный характер, величина сигнала просто возрастает по экспоненте.

На рис. 7.3. амплитуда колебаний выходного сигнала неустойчивой, но близкой к границе устойчивости САР растет в течение многих периодов колебаний сравнительно медленно, а затем все быстрее и быстрее (в целом - по экспоненте). На нижнем графике показана переходная характеристика той же самой САР, но в удвоенном интервале времени. Размах колебаний к концу десятой секунды увеличился во много раз по сравнению с размахом, достигнутым к концу пятой секунды

Рис.7.3. Переходная характеристика

Линейные системы, содержащие контур из устойчивых звеньев могут быть неустойчивыми. С физической точки зрения именно наличие контура обратной связи является необходимым (но не достаточным) условием неустойчивости системы. Поэтому наличие в системе контура, например местной или главной обратной связи, служит структурным признаком потенциальной неустойчивости САР. В системах управления неустойчивость, как правило, является недопустимой, вредной. В системах генерации (энергетических мощностей, радиотехнических сигналов и т.п.) неустойчивость напротив, необходима.

Из определения устойчивости Ляпунова вытекает основное условие устойчивости САР: все корни характеристического полинома (знаменателя передаточной функции) САР должны иметь отрицательную действительную часть, т.е. располагаться в левой полуплоскости комплексной плоскости:

Рис.7.4. Пример расположения на комплексной плоскости корней характеристического полинома устойчивой системы. Если все корни слева от мнимой оси (красные точки), то САР устойчива, если хотя бы один корень справа, то САР не устойчива (синие точки)

В настоящее время наиболее простой способ установления факта и даже определения степени устойчивости заданной системы, состоит в построении переходной функции этой системы в программе ООМ (Vissim, ПК «МВТУ», Simulink из пакета MathLab и др.), и определении по виду переходной функции устойчива ли САР (см. с рис. 7.1, 7.2 и 7.3). Варьируя параметры элементов САР, и прослеживая изменения, которые происходят при этом в переходной характеристике, можно сделать выводы и о степени устойчивости исходной модели САР.