Краткие теоритические сведения. Определение условий устойчивости САУ по критерию Гурвица

Определение условий устойчивости САУ по критерию Гурвица

С помощью критерия Гурвица исследуем на устойчивость САУ привода суппорта металлорежущего станка, схема которого показана на рис. 6.1, а.

Привод состоит из усилителя-преобразователя (УП), двигателя (Д) постоянного тока, редуктора (Р), задающего потенциометра (ЗП) и по­тенциометра обратной связи (ПОС).

Прежде всего необходимо составить математическую модель при­вода. Согласно принципу работы, привод представляет собой замкнутую САУ, функциональная схема которой приведена на рис. 6.1, б. Пусть вы­деленные на схеме элементы описываются следующими передаточными функциями:

ЗП: ; ПП: ;

Д: ; Р: ;

ПОС: .

Теперь может быть построена структурная схема привода, в которой (при равенстве коэффициентов передачи задающего потенциометра и потенциометра обратной связи) два соответствующих элемента на функ­циональной схеме заменяются одним элементом с коэффициентом пере­дачи к_р на структурной схеме (рис. 6.2).

Таким образом, передаточная функция замкнутой системы после не­сложных алгебраических преобразований приобретает вид:

,

где к₀ - коэффициент передачи системы, равный произведению коэффи­циентов передачи всех звеньев канала прямого действия. Итак, система имеет характеристическое уравнение 3-го порядка:

.

Рис.6.3. Область устойчивых значений

Составим детерминант Гурвица и найдем критерии устойчивости:

.

Анализ условий устойчивости по критерию Гурвица показывает, что единственным условием является позитивность второго детерминанта, поскольку , как и, всегда больше нуля. Таким образом, для устойчивости повода необходимо, чтобы

. (6.3)

После несложных вычислений получаем единое условие устойчивости системы:

. (6.4.)

Выполнение этого условия обязательно, поэтому на практике вариацией, подбором параметров привода стремятся обеспечить (6.3). При этом наиболее удобно изменять параметры к₀ и Т_п - общий коэффициент передачи привода и постоянную времени усилителя-преобразователя. В любом случае значения вариаций этих параметров должны лежать в области D, построенной согласно условию (6.4) (рис. 6.3).

Для выполнения работы используется прикладная программа, интерфейс которой представлен на рис. 6.5. Инструкции и пояснения для работы с программой содержатся в самой программе и появляются на экране монитора при нажатии кнопки Help. Для выполнения этой лабораторной работы после активизации программы на главном интерфейсе должен быть выбран режим «Исследование устойчивости».

На изображении осциллографа зафиксирован переходный процесс САУ приводом станка, который отвечает исходным данным, представленным в окнах интерфейса (слева). Входной сигнал ступенчатой формы изображен линией 2, перемещение суппорта - линией 1 (см. рис. 6.4). Видно, что система является устойчивой и ее динамическое качество может быть оценено по комплексному показателю, который рассчитывается по формуле

, (6.5)

где у_тax - максимальная величина перемещения суппорта,

у_с - установившееся перемещение суппорта после окончания переходного процесса,

t_n - время переходного процесса.

Определение этих величин по результатам эксперимента показано на рис. 6.5.

В соответствии с заданием необходимо провести исследования зависимости комплексного показателя качества переходного процесса от коэффициента передачи усилителя-преобразователя. Для определения диапазона возможного изменения коэффициента необходимо, пользуясь зависимостью (6.4), для заданных значений Т_У и T_Д рассчитать максимально возможную величину (к_уп)_тах. При этом учитывают, что общий коэффициент передачи САУ определяется по формуле:

Рис.6.4. Интерфейс прикладной программы

Выбирают шаг изменения коэффициента передачи усилителя-преобразователя (рекомендуется принять шаг 0, 2(к_уп)_тах) и подготавливают таблицу экспериментальных и расчетных данных так, чтобы охватить максимально допустимый коэффициент передачи, определенный по зависимости (6.4).

В табл. 6.1 представлен пример для САУ с исходными данными, со­ответствующими рис. 6.4. Расчетом по формуле (6.6) находим к₀ = 383, 3. Следовательно (к_уп)_тах = 1158. Выбираем шаг 0, 2-1158 = 232, составляем таблицу и проводим эксперименты.

Активизируют прикладную программу, задают исходные данные в соответствии с вариантом, выбирают первое значение коэффициента передачи усилителя-преобразователя и выполняют моделирование переходного процесса. По осциллограмме производят необходимые измерения и записывают результаты в таблицу. Эксперименты выполняют для всего выбранного диапазона изменения коэффициента.

Рассчитывают комплексный показатель качества для каждого эксперимента и строят график зависимости комплексного показателя А динамического качества системы от коэффициента передачи к_уп усилителя-

преобразователя (рис. 6.6).

Если при каком-либо значении коэффициента передачи САУ оказывается неустойчивой, то соответствующее сообщение записывают в табл. 6.1.

Табл. 6.1. Экспериментальные и расчетные данные