Решение. Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.

Тип ДУ первого порядка устанавливают по форме его записи.

1а) Данное уравнение является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными, так как его можно записать в виде

.

Действительно, осуществив в исходном уравнении замену и умножив его затем на , получим: , т.е. уравнение с разделяющимися переменными.

Нахождение общего решения уравнения , путём деления обеих его частей на , сводится к интегрированию уравнения с разделёнными переменными , где , , общее решение которого записывается в виде .

Разделим обе части уравнения на множитель , получим ДУ с разделёнными переменными: .

Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:

, где - произвольная постоянная.

Общее решение дифференциального уравнения первого порядка должно обязательно содержать одну произвольную постоянную.

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):

,

Тогда общее решение дифференциального уравнения запишется в виде:

.

Ответ: , где - произвольная постоянная.

2а) Данное уравнение является однородным дифференциальным уравнением первого порядка, так как его можно записать в виде . Действительно, выполнив преобразования: , получим .

При выполнении преобразований однородного ДУ первого порядка к виду следует учесть, что .

Нахождение общего решения однородного ДУ первого порядка с помощью подстановки , или , где - новая неизвестная функция, сводится к нахождению общего решения ДУ с разделяющимися переменными относительно функции с последующей заменой .

С помощью подстановки , уравнение или приведём к ДУ с разделяющимися переменными относительно новой неизвестной функции . Получим:

.

Последнее уравнение есть уравнение с разделяющимися переменными. Сведём его, разделив обе части уравнения на множитель к уравнению с разделёнными переменными. Получим: .

Общее решение последнего уравнения найдём интегрированием каждого слагаемого по своей переменной и запишем в виде:

, где - произвольная постоянная.

Вычислим интегралы (с точностью до постоянного слагаемого):

;

.

Тогда общее решение последнего дифференциального уравнения запишется в виде: или, используя свойства логарифмов, в виде: , где - новая произвольная постоянная.

Теперь в найденном решении вернёмся к старой неизвестной функции , выполнив обратную замену . В итоге получим:

или .

Ответ: , где - произвольная постоянная.

б) Данное уравнение является линейным дифференциальным уравнением (ЛДУ) первого порядка, так как его можно записать в виде , где , .

Сначала найдем общее решение линейного ДУ первого порядка. Его ищем в виде , где и - новые неизвестные функции.

Общее решение ЛДУ 1-го порядка находится с помощью подстановки , где , - новые неизвестные функции. Одну из них, например , находят в виде , где - какая-нибудь первообразная для функции , тогда другую неизвестную функцию находят в виде общего решения ДУ: . В итоге будет найдено и общее решение исходного уравнения в виде

Частное решение ДУ, удовлетворяющее начальному условию получают из общего решения данного уравнения при конкретном значении произвольной постоянной . Находят как решение уравнения, получаемого подстановкой в общее решение начального условия.

Функцию найдём в виде , где - какая-нибудь первообразная для функции . Вычислив интеграл, получим . Тогда .

Простейшим ДУ первого порядка называется уравнение вида . Общее решение такого уравнения находится интегрированием и записывается в виде .

Функцию найдём как общее решение ДУ: , где , . Данное уравнение является простейшим ДУ первого порядка. Его общее решение найдём интегрированием и запишем в виде . Вычислив интеграл (с точностью до постоянной), получим:

.

Таким образом .

Тогда общее решение исходного уравнения запишется в виде:

.

Теперь найдём частное решение, удовлетворяющее начальному условию . Его получим из общего решения при конкретном значении произвольной постоянной , которое найдём из уравнения, полученного подстановкой начального условия в общее решение. В результате получим: . Тогда частное решение исходного дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальному условию , запишется в виде: .

Ответ: - общее решение; частное решение.

141-150. Требуется найти:

а) общеерешениепростейшего ДУ 2-ого порядка ;

б) общее и частное решения однородного линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами: , , ;

в) общее решение линейного ДУ 2-ого порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида: .