Решение а). Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выражаемое через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических

Сложным называют событие, наблюдаемое в эксперименте и выражаемое через другие наблюдаемые в том же эксперименте события с помощью допустимых алгебраических операций над событиями.

Вероятность осуществления того или иного сложного события вычисляется с помощью формул умножения вероятностей:

1) , ;

2) (для независимых событий)

и формул сложения вероятностей:

3) ;

4) (для несовместных событий).

События и называют несовместными, если . Несовместными событиями являются, например, элементарные исходы эксперимента.

События и , называются независимыми, если выполняется равенство , в противном случае они называются зависимыми. Часто, независимость событий определяется условиями проведения эксперимента.

Для решения задач с использованием формул сложения и умножения вероятностей следует:

1) рассмотреть «сложное» событие, вероятность которого нужно вычислить;

2) выразить «сложное» событие, посредством допустимых алгебраических операций, через наблюдаемые в том же эксперименте «простые» события, вероятности которых известны или легко определяются из условий задачи, например, по формуле классического определения вероятности;

3) вычислить вероятность «сложного» события с помощью формул сложения и умножения вероятностей, учитывая зависимость или независимость, совместность или несовместность составляющих его событий.

Рассмотрим «сложные» события: { студент успешно сдаст все три экзамена }, { студент успешно сдаст по крайней мере два экзамена из трёх }, { студент успешно сдаст хотя бы один экзамен из трех }.

Выразим сначала «сложные» события через «простые» события: {студент успешно сдаст первый экзамен}, {студент успешно сдаст второй экзамен}, {студент успешно сдаст третий экзамен}, вероятности которых известны и равны: , , . Затем вычислим вероятности , используя формулы сложения и умножения вероятностей, учитывая при этом зависимость и независимость, совместность и несовместность составляющих событий.

Событие представим в виде . Тогда, учитывая независимость событий , по формуле умножения вероятностей для независимых событий получим: .

Событие означает, очевидно, что студент сдаст или все три экзамена, или только любые два экзамена из трёх. Следовательно:

+ + ,

где - события, противоположные к событиям : {студент не сдаст первый экзамен}, {студент не сдаст второй экзамен}, {студент не сдаст третий экзамен}, вероятности которых:

, , .

Тогда, учитывая несовместность событий , , , являющихся элементарными исходами эксперимента (экзаменационной сессии), а также независимость событий , , используя формулы сложения (для несовместных событий) и умножения вероятностей (для независимых событий), получим:

Событие , определяемое словами «хотя бы один», означает, что студент сдаст или все три экзамена, или только любые два экзамена из трёх, или только любой один экзамен из трёх. Прямое вычисление вероятности данного события приводит к громоздким вычислениям. Поэтому, сначала найдём вероятность противоположного события ={ студент не сдаст ни одного экзамена }, представляемого в виде . Учитывая независимость событий , по формуле умножения вероятностей для независимых событий получим: .

Тогда .

Ответ: , , .